Inverse Probleme der Seismik und Tomographie

Bearbeiter: G. Bruckner ,S. Prößdorf  

Kooperation: W. Dahmen, K. Urban (Rheinisch-Westfälische Technische Hochschule Aachen), W. Mc Lean, I. H. Sloan (University of New South Wales, Sydney)

Kooperation: J. Cheng (Fudan University, Shanghai), S. V. Pereverzev (Ukrainische Akademie der Wissenschaften, Kiew), M. Yamamoto (University of Tokyo)

Beschreibung der Forschungsarbeit:

1. Die behandelte Aufgabe aus der Seismik betrifft die schwingende Saite im eindimensionalen, bzw. die schwingende Membran im zweidimensionalen Fall, die am Rande eingespannt ist und durch Auslenkung in endlich vielen Punkten in Erregung versetzt wird. Durch geeignete Messungen im Inneren oder auf dem Rande sollen die Erregungsherde identifiziert werden.

Mathematisch handelt es sich im eindimensionalen Falle beim direkten Problem um das folgende Rand-Anfangswertproblem für die Wellengleichung:

$$\begin{eqnarray*} u_{tt}(x,t) &=& u_{xx}(x,t) + \lambda (t) \sum_{j=1}^m \alpha... ...;,\ u (0, t) & =& u (1, t) =\;\; 0 ,\;\;\;\;\;\;\;\; 0 < t < T.\end{eqnarray*}$$

Hier sind die reellen Zahlen $\alpha_j, x_j\in (0,1), 1\le j\le m,\; \lambda \in C^1[0,1], \lambda (0)\neq 0,$ gegeben, und $\delta (\cdot-z)$ ist die Diracsche Distribution mit $\int^1_0 \delta(x-z) \varphi (x) dx = \varphi (z),\varphi\in C_0^\infty.$

Das inverse Problem besteht in der Bestimmung der Parametermenge

$$\begin{eqnarray*} P=\{m,\alpha_1,\ldots,\alpha_m,x_1,\ldots,x_m\}\end{eqnarray*}$$

aus der Beobachtung beispielsweise von u(y₀,t),0<t<T, für fixiertes $y_0\in(0,1)$.

Im eindimensionalen Fall gelang es, das Problem in ein nichtlineares gutgestelltes Problem und eine lineare Operatorgleichung, eine Integralgleichung erster Art, zu zerlegen und für letztere Regularisierungsverfahren anzugeben (vgl. [1]), die auf einer Datenglättung beruhen.

In [2] wurde außer gestörten Meßdaten zusätzlich ein gestörter Operator betrachtet. Das bedeutet speziell für das genannte Anwendungsproblem, daß die Funktion $\lambda(t)$ nicht exakt gegeben ist. Für eine Operatorgleichung

$$\begin{eqnarray*} Au=g,\;\;A:X\rightarrow Y,\;\;X\cong Y\end{eqnarray*}$$

mit gestörtem Operator und gestörter rechter Seite wurde das folgende Konzept entwickelt.
Wir gehen davon aus, daß eingehende Fehler unterschiedlicher Natur sein können. So kann eine Funktion beispielsweise an diskreten Stellen ungenau gemessen, oder sie kann durch weißes Rauschen verfälscht sein. Man hat daher den Fehler nicht nur nach seiner Größe, sondern auch nach seiner Qualität zu unterscheiden. Damit ist klar, daß Fehler, die in den Operator und solche, die in die Daten (=rechte Seite) eingehen, sich im allgemeinen qualitativ und quantitativ unterscheiden werden.
Um die Qualität der Fehler beschreiben zu können, nehmen wir an, daß Y in eine Skala von Banachräumen eingebettet ist,

$$\begin{eqnarray*} Y\subset Z^\mu\subset \ldots \subset Z^\nu \subset \ldots.\end{eqnarray*}$$

Die Güte des gestörten Operators $A_\epsilon$ charakterisieren wir dann durch die Nummer $\kappa$, für die die Operatornorm

$$\begin{eqnarray*} \Vert A-A_\epsilon\Vert _{X\rightarrow Z^\kappa}\le\epsilon\end{eqnarray*}$$

ist, und die Glattheit der Daten $g_\delta$ durch die Nummer $\rho$, für die

$$\begin{eqnarray*} \Vert g-g_\delta\Vert _{Z^\rho}\le\delta\end{eqnarray*}$$

gilt.

Es wurden, ausgehend von einem numerischen Verfahren bei exaktem Operator und exakter rechter Seite, Fehlerabschätzungen bei gestörtem Operator und gestörter rechter Seite unter Berücksichtigung der unterschiedlichen Qualität dieser Störungen abgeleitet (vgl. [2]).

Der Grundgedanke ist, das Gesamtproblem in einen operatorspezifischen Anteil und einen datenspezifischen Anteil zu zerlegen.

2. Verschiedene Probleme der lokalen Tomographie, der Armierung von Stahlbeton sowie der Geophysik führen auf eine Integralgleichung 1. Art der Gestalt  

$$\int\limits_D \frac{1}{r^{2}_{xy}}u(y)dy=f(x),\quad x\in D_1\;.$$ (1)

Hierbei bezeichnet r_xy=|x-y| den Euklidischen Abstand der Punkte $x\in D_1 ,\; y\in D$, und $D,D_1 \subset \IR^3$ sind einfach zusammenhängende Gebiete mit leerem Durchschnitt. Weil die Kernfunktion r^-2_xy in beiden Variablen analytisch ist, ist das Problem (1) hochgradig schlecht gestellt. Da die Singulärwerte des Integraloperators (1) sehr schnell gegen Null abklingen, ist es äußerst schwierig, eine gute Approximationslösung für (1) zu finden. Für die numerische Analysis der Gleichung (1) sind lokale (besonders punktweise) Stabilitätsabschätzungen der (i. a. nur lokal glatten) Lösung von besonderer Bedeutung. Dazu gibt es in der Literatur bisher so gut wie keine Ergebnisse. In [3] wurden lokale punktweise Stabilitätsabschätzungen vom logarithmischen Typ bei Benutzung der Energienorm von f gefunden unter der Annahme, daß die Lösung $u\in L^{\infty}(D)$ eine gewisse minimale lokale Glattheit besitzt.

3. In [4] wurde eine Methode der stückweise konstanten Approximation der Lösung der (schlecht gestellten) Volterraschen Integralgleichung 3. Art

$$p(t)z(t)+ \int\limits^t_0 \frac{h(t,\tau)}{(t-\tau)^{1-\alpha}} z(\tau)d\tau = f(t),\;t\in [0,1]\;,\; 0<\alpha<1\;,$$

entwickelt. Hierbei ist p eine Funktion, die auf einer Punktmenge des Intervalls $[t_1 ,t_2]\subset [0,1]$ verschwindet und außerdem die Abschätzung $\vert p(t)\vert<\delta$ für alle $t\in [t_1 ,t_2]$ erfüllt, wobei $\delta$ eine hinreichend kleine positive Zahl ist. Die vorgeschlagene Methode liefert eine Genauigkeit der Ordnung $O(\delta^{2\nu/(2\nu+1)})$ bezüglich der L₂-Norm, wobei $\nu$ der Parameter der quellenweisen Darstellung der exakten Lösung auf dem Intervall [t₁ ,t₂] ist. Der entwickelte Algorithmus benutzt nicht mehr als $O(\delta^{-(2-\lambda)/\alpha}\cdot \log^{2+1/\alpha} \frac{1}{\delta})$ Werte der Galerkinschen Funktionale, wobei $\lambda\in (0,1/2)$ im Prozeß der Bestimmung des Regularisierungsparameters (nach dem Morozovschen Diskrepanzprinzip) gewählt wird.

Projektliteratur:

1.   G. BRUCKNER, On the regularization of an inverse vibration problem, GAMM-Tagung 1997, eingereicht.
2.   G. BRUCKNER, On an operator equation with noise in the operator and the right-hand side with application to an inverse vibration problem, in Vorbereitung.
3.   J. CHENG, S. PRÖSSDORF, M. YAMAMOTO, Local estimation for an integral equation of first kind with analytic kernel, in Vorbereitung.
4.   S. V. PEREVERZEV, S. PRÖSSDORF, A discretization of Volterra integral equations of third kind with weakly singular kernels, WIAS-Preprint No. 374, 1997, erscheint in: J. of Inverse and Ill-Posed Problems.