Modellierung, Analysis und Numerik von Prozessen in optischen Kommunikationssystemen

Bearbeiter: U. Bandelow , B. Sandstede , D. Peterhof , K. R. Schneider  

Kooperation: T. Kapitula (University of New Mexico), L. Recke (Institut für Mathematik der Humboldt-Universität zu Berlin), H.-J. Wünsche (Institut für Physik der Humboldt-Universität zu Berlin), B. Sartorius (Heinrich-Hertz-Institut für Nachrichtentechnik Berlin), V. V. Strygin (Staatliche Universität Voronesh)

Förderung: DFG, Schwerpunktprogramm ,,Ergodentheorie, Analysis und effiziente Simulation dynamischer Systeme``

Teilprojekt: Modellierung, Analysis und Numerik von Mehrsektions-DFB-Halbleiterlasern

Beschreibung der Forschungsarbeit:

Gegenstand des Projekts sind analytische und numerische Untersuchungen mathematischer Modelle (hyperbolische Systeme partieller Differentialgleichungen, die mit gewöhnlichen Differentialgleichungen gekoppelt sind), die das dynamische Verhalten von Mehrsektions-DFB-Halbleiterlasern beschreiben.

Im Berichtszeitraum wurde die betrachtete Modellklasse in folgende Richtungen ausgebaut:

- Einbeziehung externer Signale,

- Berücksichtigung weiterer Effekte (Multimodeneffekte, Lochbrennen).

Folgende Themen wurden bearbeitet:

Selbstpulsationen. Mathematisch gesehen handelt es sich hierbei um modulierte Wellenlösungen, die durch Hopf-Bifurkationen aus rotierenden Wellenlösungen entstehen. Technisch werden diese periodischen Zustände als Signale genutzt. Die Modellierung setzt auf der Ebene partieller Differentialgleichungen an und wird durch die Ebene geeigneter Approximationen mit Moden ergänzt. Vergleiche zwischen experimentellen und numerischen Ergebnissen, die von den Kooperationspartnern angestellt wurden, ergaben eine sehr gute Übereinstimmung [1]. Gegenwärtig werden die wesentlichen Einflußparameter gemeinsam mit den Praxispartnern identifiziert, gleichzeitig wird an einer modellgestützten Optimierung der Bauelemente gearbeitet.

TDMLAB. Für die Anwendungsrechnungen auf der Ebene der diskretisierten partiellen Differentialgleichungen wurde 1997 am WIAS in Zusammenarbeit mit H.-J. Wünsche (HU Berlin) das Softwarepaket TDMLAB entwickelt. Als numerischer Kern stand dabei das TIME DOMAIN MODELL zur Verfügung, das von D. D. Marcenac an der Universität von Cambridge entwickelt wurde. TDMLAB ermöglicht u. a. die realistische Einbeziehung von Multimoden- und sogenannten Lochbrenneffekten, die in den realen Bauelementen simultan auftreten. Gegenwärtig wird an einer Methode gearbeitet, die die Effekte der Materialdispersion in das Zeitbereichsmodell aufnimmt.

TDMLAB wurde auf Rechnern des WIAS zur Verfügung gestellt und versetzt die Praxispartner in die Lage, selbständige Anwendungs- und Optimierungsrechnungen durchzuführen.

Approximationen mit zeitabhängigen Moden. Mit dieser Technik werden die partiellen Differentialgleichungen auf ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen reduziert, deren rechte Seiten allerdings implizit durch Sturm-Liouvillesche Randwertprobleme definiert sind. Dabei wird ausgenutzt, daß die gekoppelten Wellengleichungen lineare Gleichungen für die komplexen Feldamplituden sind, deren Koeffizienten von den Ladungsträgerdichten abhängen. Folglich bietet sich eine Entwicklung der komplexen Feldamplituden nach entsprechenden Eigenfunktionen und beigeordneten Eigenfunktionen an. Diese hängen allerdings von den Ladungsträgerdichten und damit parametrisch von der Zeit ab.

Auf dieser Grundlage wurde das Programmpaket AUTO mit einem Programm zur Berechnung der implizit gegebenen rechten Seiten verknüpft und auf Zwei- und Dreisektionslaser angewendet.

Spektraleigenschaften der gekoppelten Wellengleichungen. Wesentliche Eigenschaften eines Zwei-Sektions-DFB-Halbleiterlasers können durch ein Randwertproblem für ein lineares hyperbolisches System von partiellen Differentialgleichungen mit stückweise stetigen Koeffizienten beschrieben werden. In [4] wird gezeigt, daß der dadurch definierte Operator H eine C₀-Gruppe von beschränkten Operatoren in einem geeigneten Hilbertraum U erzeugt, wobei alle bis auf endlich viele Eigenwerte von H einfach sind und negativen Realteil haben, und daß eine Basis in U existiert, die aus Wurzelfunktionen von H besteht, wobei alle bis auf endlich viele dieser Wurzelfunktionen Eigenfunktionen darstellen.

Taktrückgewinnung. Aus mathematischer Sicht geht es hierbei um die Synchronisation der modulierten Wellenlösung unter Einwirkung einer externen, die Symmetrie und die Autonomie brechenden Störung vom ,,Typ einer modulierten Welle``. Wesentliche Charakteristika dieses Synchronisationsphänomens (Locking-Bereiche im Raum der Laser- und Signalparameter, Zahl und Stabilität der synchronisierten Lösungen) wurden analytisch beschrieben. Die entsprechenden Algorithmen wurden mit dem Softwarepaket AUTO numerisch umgesetzt. Auf dieser Grundlage wurden die Locking-Bereiche eines selbstpulsierenden 3-Sektions-DFB-Lasers in Abhängigkeit von Parametern des externen Signals bestimmt (s. Abbildung 1) [2]. Die oben genannten Arbeiten sind auf periodisch modulierte Signale anwendbar und garantieren die Synchronisation des Lasers. Das reale Datensignal entspricht einer beliebigen Bitsequenz und ist daher aperiodisch moduliert. Es wurden analytische Kriterien entwickelt, die die Synchronisation des Lasers unter derartigen aperiodischen Signalen sicherstellen [3].

Zukünftig soll ein analoger Algorithmus für das sogenannte ,,nichtresonante`` Locking entwickelt werden, da sich diese Technik in der Praxis durchzusetzen scheint. Bei diesem Verfahren ist das Wellenlängendetuning praktisch ohne Relevanz.

Projektliteratur:

1.   U. BANDELOW, H.-J. WÜNSCHE, B. SARTORIUS, M. MÖHRLE, Dispersive self-Q-switching in DFB lasers - Theory versus experiment, IEEE Journal of Sel. Top. in Quantum Electronics, 3 (1997), pp. 270 - 278.
2.  U. BANDELOW, L. RECKE, B. SANDSTEDE, Frequency regions for forced locking of self-pulsating multi-section DFB lasers, erscheint 1998 in: Optics Communications.
3.  D. PETERHOF, B. SANDSTEDE, All-optical clock recovery using multi-section distributed-feedback lasers, WIAS-Preprint No. 356 (1997).
4.  L. RECKE, K. R. SCHNEIDER, V. V. STRYGIN, Spectral properties of coupled wave equations, WIAS-Preprint No. 362 (1997).

Teilprojekt: Stabilität von Pulsen in optischen Fasern

Beschreibung der Forschungsarbeit:

Die raum-zeitliche Entwicklung von Signalen in einer idealen optischen Faser wird durch die nichtlineare Schrödinger-Gleichung (NLS)

$$i u_x + u_{tt} - \omega u + \vert u\vert^2 u = 0$$

mit $\omega\gt$ und $x \in R$ beschrieben. Die NLS besitzt stabile lokalisierte Pulse. Realistische optische Fasern werden durch die komplexe Ginzburg-Landau-Gleichung (CGL)

$$i u_x + u_{tt} - \omega u + \vert u\vert^2 u = \epsilon(d_1 u_{tt} + d_2 u + d_3 \vert u\vert^2 u + d_4 \vert u\vert^4 u)$$

beschrieben, die zusätzlich lineare Dämpfung, nichtlineare Energiezufuhr und Saturierung berücksichtigt. Spektrale Filter und Verstärker werden durch den zusätzlichen Diffusionsterm modelliert.

Es war ein bisher ungelöstes Problem, welche Bedingungen an die Koeffizienten d₁,d₂,d₃ und d₄ die Existenz eines stabilen Pulses der (CGL) für kleines $\epsilon\gt$garantieren. Bisher gab es nur numerische Untersuchungen zu dieser Fragestellung.

Die Schwierigkeit besteht darin, daß das essentielle Spektrum der Linearisierung der NLS in einem Puls vollständig in der imaginären Achse enthalten ist. Wenn die unbeschränkte CGL-Störung hinzugenommen wird, kann zwar das essentielle Spektrum des gestörten Problems leicht berechnet werden; es ist aber vollkommen unklar, ob und wie viele isolierte Eigenwerte aus dem essentiellen Spektrum herausverzweigen können. Derartige zusätzliche Eigenwerte können den Puls destabilisieren. Dies ist ein Problem, das ganz allgemein bei dissipativen Störungen von konservativen (insbesondere also integrablen) PDEs auftritt.

In [1] haben wir dieses Problem durch eine Erweiterung des Definitionsbereiches der Evans-Funktion über das essentielle Spektrum hinweg gelöst. Wir konnten zugleich die zu der NLS gehörende Evans-Funktion explizit berechnen. Damit waren wir in der Lage, die Existenz von stabilen Pulsen für CGL unter gewissen Bedingungen an die Parameter zu beweisen.

Die Methode ist auf allgemeine (dissipativ) gestörte konservative PDEs anwendbar. Neben der CGL haben wir die parametrisch gestörte NLS und weitere für Anwendungen interessante Störungen der NLS untersucht.

Projektliteratur:

1.  T. KAPITULA, B. SANDSTEDE, Stability of bright solitary wave-solutions to nonlinear Schrödinger equations, erscheint in: Phys. D.