Rückkopplungssteuerungen in kontinuierlichen und diskreten Kontrollsystemen

Bearbeiter: A. Akutowicz , W. Müller$\dag$,K. R. Schneider  

Teilprojekt: Optimale periodische Feedbacksteuerungen

Beschreibung der Forschungsarbeit:

Wir betrachten ein n-dimensionales lineares Steuersystem mit T-periodischen Koeffizienten und einem skalaren Steuereingang u  

$$\frac{dx}{dt}=A(t)x+B(t)u .$$ (1)

Wir nehmen an, daß (1) auf dem Intervall [0,T] kontrollierbar ist und daß die Systemmatrizen analytisch von t abhängen. Es sei $\Phi_K(t,t_0)$ eine Fundamentalmatrix des zu einer gegebenen T-periodischen Rückkopplungssteuerung u=K^t(t)x gehörenden ,,closed-loop systems``  

$$\frac{dx}{dt}=(A(t)+B(t)K^t(t))x.$$ (2)

Die Matrix $\Phi_K(T,0)$ wird als Monodromiematrix bezeichnet. Wir untersuchen das Problem, ob zu einer beliebig vorgegebenen reellen $n \times n$-Matrix M eine T-periodische Rückkopplungssteuerung u=K^t(t)x existiert, so daß die Monodromiematrix in der Form

  $$\begin{eqnarray} \Phi_K(T,0) = exp(MT) \end{eqnarray}$$

dargestellt werden kann. Diese Fragestellung stellt eine Verallgemeinerung des bekannten Pole-Placement-Problems für lineare autonome Kontrollsysteme dar.

Das grundlegende Ergebnis der Untersuchungen besteht im Nachweis der Existenz einer solchen Rückkopplungssteuerung und in ihrer Konstruktion. Die periodische Rückkopplungssteuerung wird unter Verwendung eines optimalen bilinearen Kontrollproblems gefunden. Bei der Lösung dieses Problems treten zwei Gleichungen auf, die als Analogon zur Riccati-Gleichung für das lineare Optimalsteuerproblem mit quadratischem Kostenfunktional (L-Q-Problem) betrachtet werden können. Solche Gleichungen entstehen auf natürliche Weise bei der Untersuchung affiner Kontrollsysteme, die durch linksinvariante oder rechtsinvariante Vektor-Felder auf Lie-Gruppen erzeugt werden.

Im Vergleich zur traditionellen Methode für die Lösung von L-Q-Problemen, die zwar stabilisierend wirkt, aber keine Polvorgabe gestattet, können bei der von uns verwendeten Methode die Pole vorgegeben werden. Es ist bemerkenswert, daß mit unserer Untersuchungsmethode bewiesen werden kann, daß für single-input-single-output-Kontrollsysteme,

$$\begin{eqnarray*} \frac{dx}{dt} &=&A(t)x+B(t)u ,\ y &=&C(t)x\end{eqnarray*}$$

die kontrollierbar und beobachtbar sind, zu beliebig vorgegebener Matrix M eine lineare periodische Rückkopplung existiert, so daß für die Monodromiematrix $\Phi_K(T,0)$ die Relation (3) gilt.

Projektliteratur:

1.  A. AKUTOWICZ, Periodic feedback for linear systems and optimal control of bilinear systems, Dissertation, eingereicht im Oktober 1997 an der Humboldt-Universität zu Berlin.

Teilprojekt: Stabilisierung diskreter Kontrollsysteme mittels nichtlinearer Rückkopplungen

Beschreibung der Forschungsarbeit:

Es werden diskrete Kontrollsysteme der Gestalt  

$$x(k+1)=f(x(k))+Bu(k), \ k=0,1,2...$$ (1)

betrachtet, wobei f eine glatte Funktion ist, die der Bedingung f(0)=0 genügt. Unter der Voraussetzung, daß die Linearisierung von (1) nichtkontrollierbare Moden enthält, d. h., sie besitzt die Gestalt

$$\begin{eqnarray*} y \ (k+1) & = & A_1 \ y(k) \ z \ (k+1) & = & A_2 \ z(k) + \tilde{B} v(k),\end{eqnarray*}$$

werden Bedingungen abgeleitet, unter denen eine stabilisierende quadratische Rückkopplungssteuerung $u(k) = \tilde{u} (x(k)), \ \tilde{u} (0)=0$ existiert. Die grundlegende Idee zur Lösung dieser Aufgabe besteht in der Anwendung der Theorie der Zentrumsmannigfaltigkeiten für diskrete dynamische Systeme und in der Konstruktion von Ljapunov-Funktionen für das reduzierte System. Zu diesem Zweck werden sowohl für die Rückkopplung als auch für die Zentrumsmannigfaltigkeit Ansätze mit unbestimmtem Koeffizienten verwendet, um letztlich Bedingungen für die Entwicklungskoeffizienten von f in Punkt x=0 abzuleiten, die eine stabilisierende quadratische Rückkopplung gestatten. Im Fall, daß das reduzierte System eindimensional ist, lassen sich die entsprechenden Koeffizientenkriterien relativ einfach herleiten und auf zweidimensionale kontinuierliche Systeme übertragen. Im Fall eines zweidimensionalen reduzierten Systems erweist sich der Übergang zur komplexen Darstellungsweise unter Einschließung der zugehörigen Normalformtheorie als zweckmäßig.

Die erhaltenen Resultate können verwendet werden, um für parameterabhängige Kontrollsysteme

$$x(k+1)=f(x(k), \lambda ) + Bu(k),$$

deren zugehöriges unkontrolliertes System

$$x(k+1) = f(x(k), \lambda)$$

für $\lambda = \lambda_0$ einen Stabilitätswechsel seines Fixpunktes x=0 aufweist, eine Rückkopplungssteuerung zu konstruieren, so daß eine abzweigende neue Lösung asymptotisch stabil ist. Die abgeleiteten Resultate für diskrete Kontrollsysteme beinhalten entsprechende Aussagen für kontinuierliche Steuersysteme.

Projektliteratur:

1.  W. MÜLLER, K. R. SCHNEIDER, Feedback stabilization of nonlinear discrete-time systems, erscheint in: Journal of Difference Equations and Applications, 1998.