Bearbeiter: S. Prößdorf
Kooperation: W. McLean (The University of New South Wales, Sydney)
Beschreibung der Forschungsarbeit:
Für Randelementmethoden zur numerischen Lösung zweidimensionaler Randwertaufgaben, die glatteste Splines als Ansatzfunktionen benutzen, existiert (zumindest im Falle glatter Randkurven) eine vollständige Stabilitäts- und Fehleranalysis (siehe [1] und die dort zitierte Literatur). Von den Ingenieuren werden bei der Benutzung von Randelementmethoden jedoch oft Splines mit Defekt, d. h. Splines mit mehrfachen Knoten (z. B. stetige quadratische Splines oder Hermitesche kubische Splines) bevorzugt, da in diesem Fall die Steifigkeitsmatrizen der diskretisierten Gleichungen eine viel einfachere Struktur besitzen. Für diesen Fall gab es in der Literatur bislang kaum Stabilitätsaussagen oder Fehlerabschätzungen. Ziel des vorliegenden Projektes war es, diese Lücke zu schließen. Für Kollokationsmethoden zur Lösung periodischer eindimensionaler Pseudodifferentialgleichungen, die Splines mit Defekt als Ansatzfunktionen benutzen, wurden notwendige und hinreichende Stabilitätskriterien bewiesen und Fehlerabschätzungen in der Skala der Sobolev-Normen angegeben. Außerdem wurden Superkonvergenzergebnisse bei spezieller Wahl der Kollokationspunkte (d. h. Erhöhung der Konvergenzordnung bezüglich schwacher (negativer) Sobolev-Normen) nachgewiesen. Die theoretischen Ergebnisse wurden durch zahlreiche numerische Tests, z. B. für die Einfachschichtpotentialgleichung, bestätigt. Kernstück des Projektes ist eine Fehleranalysis für translationsinvariante Pseudodifferentialoperatoren (d. h. Operatoren mit konstanten Koeffizienten), die auf Fourieranalysis-Techniken und der Verallgemeinerung eines bekannten Ergebnisses von L. Collatz und W. Quade (Rekursionsformel für die Fourierkoeffizienten der Splines) beruht. Die Verallgemeinerung auf den Fall variabler Koeffizienten bzw. Symbole gelingt mittels lokaler Prinzipien, die in einem früheren Projekt des Bearbeiters entwickelt wurden.
Projektliteratur: