Multiskalen-Methoden für Sattelpunktsprobleme in der optimalen Steuerungstheorie

Bearbeiter: A. Kunoth

Förderung: Texas Higher Education Coordination Board, Advanced Research Program

Kooperation: W. Dahmen (RWTH Aachen), A. J. Kurdila (Texas A&M University)

Beschreibung der Forschungsarbeit:

In [1] wurde gezeigt, wie sich unter Verwendung von Multiskalen-Methoden Sattelpunktsprobleme optimal unabhängig von der Diskretisierungstiefe vorkonditionieren lassen, die durch Anhängen essentieller Randbedingungen an die schwache Formulierung elliptischer Differentialgleichungen entstehen. Diese mittels Methoden aus der Approximationstheorie erhaltenen Ergebnisse sind dimensionsunabhängig und lassen eine besonders geeignete Realisierung in drei und mehr Dimensionen basierend auf wavelet-artigen Funktionen zu. Die schwierige Konstruktion solcher Multiskalen-Basen, wenn sie an essentielle Randbedingungen angepaßt werden müssen, wird hier durch das Anhängen der Randbedingungen mittels Lagrangescher Multiplikatoren umgangen. Dieser Ansatz eignet sich daher besonders auch für Probleme der optimalen Steuerung, etwa aus der Elastizitätstheorie, bei denen die Kontrolle über die Randbedingungen ausgeübt wird. Die Vorkonditionierungsstrategie für eine solche beliebig multivariate nichtsymmetrische elliptische partielle Differentialgleichung wird in [3] beschrieben. An einer objekt-orientierten Implementierung in 3D auf einem polyhedralen Gebiet wird unter Benutzung von Software-Tools aus [2], [4] gegenwärtig gearbeitet.

Projektliteratur:

1.   A. KUNOTH, Multilevel preconditioning -- Appending boundary conditions by Lagrange multipliers, Advances in Computational Mathematics, Vol. 4, No. I-II, Special Issue on Multiscale Methods, 1995, p. 145-170.

2.   A. KUNOTH, Computing integrals of refinable functions -- Documentation of the program, Version 1.1, Technical Report ISC-95-02-MATH, Institute for Scientific Computation, Texas A&M University, Mai 1995.

3.   A. KUNOTH, A. KURDILA, Multilevel preconditioning of saddle point problems in optimal control, in Vorbereitung.

4.   K. URBAN, Multiskalenverfahren für das Stokes-Problem und angepaßte Wavelet-Basen, Dissertation, RWTH Aachen, 1995, erscheint in: Aachener Beiträge zur Mathematik, Augustinus-Verlag, Aachen.