Regularisierung spezieller inverser Probleme

Bearbeiter: G. Bruckner, S. Handrock-Meyer, S. Prößdorf

Förderung: DFG

Kooperation: R. Gorenflo (FU Berlin), M. Yamamoto (University of Tokyo), G. Vainikko (Helsinki University of Technology)

Beschreibung der Forschungsarbeit:

Schwerpunkt der Untersuchungen sind unter anderem Randintegralgleichungen auf Gebieten mit nicht notwendig glatten Rändern. Sie stellen in geeigneten Räumen (bzw. Raumpaaren) gutgestellte Probleme dar, für die bei exakt gegebenen Kernen und rechten Seiten zahlreiche numerische Verfahren in der Literatur entwickelt wurden. Bei gestörten Daten sind diese Probleme schlechtgestellt.

Im Falle gestörter rechter Seiten wurde eine Methode entwickelt, durch Vorbehandlung der Daten das schlechtgestellte Problem auf ein gutgestelltes zurückzuführen. Eine solche Datenglättung ist vom Integraloperator weitgehend unabhängig. Sie kann mit Hilfe der abgeschnittenen Singulärwertzerlegung eines Einbettungsoperators oder durch Lösen eines Approximationsproblems ausgeführt werden. Letzteres wurde in [1] für das Kollokationsverfahren untersucht. In [2] wurde gezeigt, daß die gleiche Methode auch auf ein Problem der Identifikation von Punktquellen in der eindimensionalen Wellengleichung anwendbar ist.

In [3] wurden am Beispiel der Symmschen Integralgleichung (Einfachschichtpotentialgleichung) Störungen im Kern und der rechten Seite für Kollokations- und Quadraturformelmethoden in Sobolev- und Hölder-Zygmund-Räumen untersucht.

Für die Symmsche Integralgleichung mit gestörter rechter Seite sind numerische Tests unter Verwendung des Kollokationsverfahrens durchgeführt worden [5], wobei das Programm aus der Arbeit [6] für den vorliegenden Fall modifiziert wurde. Als Ansatzräume, in denen die Näherungslösung gesucht wird, wurden Räume, die von biorthogonalen Wavelets erzeugt werden, gewählt, als Testfunktionale die Funktionale von Brandt und Lubrecht. Die Diskretisierungsmatrix wird direkt in der Waveletbasis erzeugt und anschließend vorkonditioniert. Es tritt der Selbstregularisierungseffekt auf, d. h. die Diskretisierung verfügt über einen hinreichend guten Regularisierungseffekt. In diesem Falle kann man auf eine zusätzliche Regularisierung verzichten.

Außerdem wurde eine Integralgleichung erster Art, deren Kern die Greensche Funktion einer Randwertaufgabe ist, mit Hilfe des Ritz-Verfahrens untersucht. Dieses ist bei Verwendung von orthogonalen Wavelets als Ansatzfunktionen quasioptimal und robust [4]. Die Konditionierungszahl der Diskretisierungsmatrix läßt sich wiederum durch einen Vorkonditionierer reduzieren. Auch in diesem Fall ist ein Selbstregularisierungseffekt zu beobachten.

Projektliteratur:

1.   G. BRUCKNER, On the stabilization of approximation procedures for a class of integral equations of the first kind with noisy right-hand sides, erscheint in: Inverse and Ill-posed Problems.
2.   G. BRUCKNER, A decomposition method for the numerical solution of ill-posed linear first kind integral equations, Proceedings ICIAM'95, eingereicht.
3.   G. BRUCKNER, S. PRÖSSDORF, G. VAINIKKO, Error bounds of discretization methods for boundary integral equations with noisy data, WIAS-Preprint No. 194, Berlin 1995, erscheint in: Applicable Analysis.
4.   S. HANDROCK-MEYER, Some remarks about utilization of wavelets for solving ill-posed problems, Proceedings ICIAM'95, eingereicht.
5.   S. HANDROCK-MEYER, The self-regularization effect of the collocation method applied to the Symm's integral equation, in Vorbereitung.
6.   W. DAHMEN, B. KLEEMANN, S. PRÖSSDORF, R. SCHNEIDER, Multiscale methods for the solution of the Helmholtz and Laplace equations, erscheint in: Boundary Element Methods 1989--1995, Reports of the DFG, Ed.: W. Wendland, Springer 1996.