Bearbeiter: G. Bruckner, S. Handrock-Meyer, H. Langmach (FG 3), J. Sprekels (FG 1)
Kooperation: H.-J. Diersch, S. Kaden, J. Luo (WASY GmbH Berlin)
Beschreibung der Forschungsarbeit:
Aufgabe ist die Identifikation der Bodendurchlässigkeit aus Messungen des Grundwasserstandes in einem zweidimensionalen polygonal berandeten Gebiet unter Vorgabe von Ein- und Ausflüssen oder Wasserständen am Rand sowie Quellen im Gebiet. Die Messungen sind mit Fehlern behaftet und im allgemeinen unregelmäßig im Gebiet verteilt (Bohrungen). Als mathematisches Modell wird die zweidimensionale stationäre Diffusionsgleichung mit räumlich verteiltem skalaren Durchlässigkeitskoeffizienten zugrunde gelegt, wobei auf den einzelnen Teilrändern Dirichlet- bzw. Neumann-Randbedingungen gegeben sind.
Zur Identifikation des positiven und im allgemeinen Unstetigkeiten erster Art (Sprünge) aufweisenden Durchlässigkeitskoeffizienten wird eine Methode von G. Vainikko verwendet, die auf einer Finite-Elemente-Diskretisierung der dem Ausgangsproblem entsprechenden Variationsformulierung beruht. Dabei wird maßgeblich die einfache Gestalt des adjungierten Operators der sich ergebenden Operatorgleichung ausgenutzt. Das resultierende Projektionsverfahren ist bekannt als duale Fehlerquadratmethode oder auch als Methode des kleinsten Fehlers. Das Verfahren ist kombiniert mit der Methode der Tikhonov-Regularisierung.
Das Verfahren wurde programmiert und befindet sich in der Testphase. Bei einigen Testbeispielen trat ein Selbstregularisierungseffekt auf, so daß in diesen Fällen auf die Tikhonov-Regularisierung verzichtet werden konnte. Für ausreichend viele und gering gestörte Daten (1 %) wurden bei geringen Sprunghöhen in den Unstetigkeitsstellen des Koeffizienten gute Ergebnisse erzielt.
Im Rahmen des Projektes wurde dieses von Vainikko für Rechteckgebiete und -gitter getestete Verfahren auf polygonal berandete Gebiete und krummlinige Gitter erweitert. Weiter wird es mit einer Methode der ,,Datenglättung`` kombiniert. Ziel dieser Methode ist eine optimale Verwertung der a priori Schätzung für den Koeffizienten sowie der gegebenen (fehlerbehafteten) Daten. Gesucht sind ,,geglättete Daten``, die die diskrete Gleichung für die a priori Schätzung mit einer (gegebenen) Toleranz erfüllen und möglichst gut zu den Meßdaten passen. Es ergibt sich ein bedingtes Minimumproblem, das mit der Methode der Lagrangeschen Multiplikatoren und dem Newtonverfahren gelöst wird.
Das Projekt wird im Rahmen eines Forschungs- und Entwicklungsvertrages, der mit der WASY GmbH abgeschlossen wurde, weitergeführt.
Projektliteratur: