Bearbeiter: R. Tribe
Kooperation: C. Mueller (Rochester)
Beschreibung der Forschungsarbeit:
Das Ergebnis einer hydrodynamischen Skalierung wechselwirkender stochastischer Teilchensysteme sind in vielen Fällen nichtlineare stochastische partielle Differentialgleichungen. Somit ergibt sich die Notwendigkeit, Lösungseigenschaften solcher Gleichungen zu untersuchen. Wir betrachten hierbei einige konkrete Beispiele von Gleichungen, die sich aus speziellen, vor allem aus der biologischen Populationsgenetik motivierten Modellen ergeben [1]. Von besonderem Interesse ist hierbei die Existenz von Lösungen mit schockartigen Grenzflächen zwischen makroskopisch verschiedenen Phasen. Die Dynamik dieser Grenzflächen beschreibt etwa die Ausbreitung von Populationen, aber auch die Dynamik von Phasengrenzen in Ferromagneten. In [2], [3] wurde die Existenz solcher Lösungen für die mit Fisher-Wright weißem Rauschen getriebene Wärmeleitungsgleichung gezeigt und das Langzeitverhalten analysiert. Dabei zeigt sich, daß die Grenzfläche nach geeigneter Reskalierung asymptotisch eine Brownsche Bewegung ausführt.
Lösungen, in denen viele dieser Grenzflächen vorkommen, lassen sich durch ein System Brownscher Teilchen, die sich bei Berührung annihilieren, approximativ beschreiben.
Für eine andere stochastische Differentialgleichung, die aus der Skalierung eines langreichweitigen Kontaktprozesses erhalten wird, wurde in Abhängigkeit von einem Parameter ein Phasenübergang zwischen `aussterbenden' und mit positiver Wahrscheinlichkeit `überlebenden' Lösungen bewiesen [4].
Projektliteratur: