Bearbeiter: K. Fleischmann
Kooperation: J.T. Cox (Syracuse), A. Greven (Erlangen)
Beschreibung der Forschungsarbeit:
Die Herausbildung zufälliger Cluster kann in vielen angewandten Gebieten beobachtet werden (z.B. Rostbildung an glatten Stahlflächen, Sonnenflecke, Akkumulationseffekte, Keimbildung). Sie ist von grundsätzlich anderer Natur als häufig anzutreffende Mittelungsprinzipien. Von besonderem Interesse ist die sogenannte diffusive Clusterbildung: Charakteristika der Cluster (wie Größe oder Form) bleiben selbst in makroskopischen Skalen zufällig.
Wechselwirkende Diffusionen stammen vor allem aus der Populationskinetik. Sie beschreiben in der Diffusionsapproximation Häufigkeiten des Auftretens von Genen unter dem Einfluß von Resampling und Migration. In der kritischen Dimension besitzen solche Prozesse gerade die diffusive Clusterbildungseigenschaft [1]. Sie ist darüber hinaus universell: Die Limesstrukturen sind für eine große Klasse von Diffusionskoeffizienten and Anfangsszuständen identisch.
Im Berichtsjahr wurde ein allgemeines Vergleichsargument bewiesen ([2]). Es ermöglicht, ein seit Jahren angestrebtes Resultat zu erzielen: Vorausgesetzt der Träger des Diffusionskoeffizienten ist die Halbachse und die Migrationsirrfahrt ist rekurrent, dann stirbt die unendliche wechselwirkende Diffusion lokal.
Gebraucht wird diese Vergleichsmethode auch für das Studium der
zeitlichen Struktur der Clusterformierung für wechselwirkende Diffusionen
im Intervall 
(s. [3]). Ein zu einem späten Zeitpunkt
vorliegender Cluster hat auch makroskopisch ein zufälliges Alter. Dies ist
von kleinerer Ordnung als das Systemalter. Weiter zurückliegende Cluster
indes haben eine asymptotisch verschwindende Lebenszeit: Ihre Zustände
bilden ein bedingtes 0-1-Rauschen. Der sogenannte transformierte
Fischer--Wright--Baum ist ein
wesentliches Hilfsmittel zur
Beschreibung der genealogischen Struktur der Raum-Zeit-Cluster.
Er ist in
Dualität zu einem Ensemble von Log-Verschmelzern, das als Limesstruktur zu
verzögerten verschmelzenden Irrfahrten mit Immigrationen auftritt. Diese
sind wiederum in Dualität zu wechselwirkenden Fisher-Wright-Diffusionen.
Projektliteratur: