Verzweigungsprozesse in katalytischen Medien

Bearbeiter: K. Fleischmann

Kooperation: D.A. Dawson (Ottawa), J.-F. Le Gall (Paris), Y. Li und C. Mueller (Rochester)

Beschreibung der Forschungsarbeit:

Räumliche Verzweigungsprozesse beschreiben die zufällige Evolution von Objekten, die sich sowohl im Raum bewegen als auch verzweigen, d.h. sterben oder vermehren/teilen können. Die Objekte können dabei sowohl biologischer Natur (z.B. Gene, Zellen, Bakterien, Individuen), als auch technischer Natur (z.B. Moleküle, Teilchen, Informationseinheiten, kosmische Strahlen oder Körper) sein. Im vorliegenden Fall wird die Verzweigung nur durch die Präsenz von Katalysatoren ermöglicht. Diese sind i.a. selbst einer zufälligen Evolution unterworfen. Katalytische Medien, die einen fraktalen Charakter besitzen (z.B. fraktale Elektroden, fraktale Membranen, dissipative Strukturen), sind von besonderem physikalischen, physikalisch-chemischen und biologischen Interesse. Hauptzielstellung ist die Herausarbeitung von Phänomenen, die sich nur durch den irregulären oder statistischen Charakter des katalytischen Mediums erklären lassen. Die Ergebnisse sollen dem grundsätzlichen Verständnis stochastischer Effekte in einem gewissen Spektrum naturwissenschaftlicher und technologischer Anwendungsfelder dienen.

Ein extrem vereinfachtes Modell mit einem einzigen punktförmigen Katalysator ermöglicht bereits das Studium einer ganzen Reihe neuartiger Grundeffekte ([1], [4], [2], [3]). Im Berichtsjahr wurde ein neuer Zugang zu dieser punkt-katalytischen Super-Brownschen Bewegung gefunden ([5]). Das Populationsdichtefeld läßt sich mittels einer deterministischen Formel aus dem Aufenthaltsdichtemaß am Ort des Katalysators berechnen. Letzteres kann aus einem einfacheren Modell gewonnen werden: Es ist das totale Aufenthaltsmaß in einem super--stabilen Prozeß im konstanten Medium.

Als Anwendung dieser neuen Einsichten folgt u.a., daß die Massendichte außerhalb des Katalysators unendlich differenzierbar und damit um ein Vielfaches glatter als bei der gewöhnlichen Super-Brownschen Bewegung ist. Dies beanwortet eine aus der Literatur bekannte Fragestellung.

Projektliteratur:

1. D.A. Dawson, K. Fleischmann: A super-Brownian motion with a single point catalyst. Stochastic Process. Appl. 49, 3--40 (1994)
2. K. Fleischmann: Superprocesses in catalytic media. Measure-Valued Processes, Stochastic Partial Differential Equations, and Interacting Systems (ed. D.A. Dawson), CRM Proceedings & Lecture Notes, volume 5, 99--110, Centre de Recherches Mathématiques, Université de Montréal, Amer. Math. Soc., Providence (1994)
3. D.A. Dawson, K. Fleischmann, J.-F. Le Gall: Super-Brownian motions in catalytic media. Erscheint in: Branching processes: Proceedings of the First World Congress, September 1993, (ed. C.C. Heyde), Lecture Notes Math. Springer, 1995
4. D.A. Dawson, K. Fleischmann, Y. Li, C. Mueller: Singularity of super-Brownian local time at a point catalyst. Erscheint in: Ann. Probab. (1995)
5. K. Fleischmann, J.-F. Le Gall: A new approach to the single point catalytic super-Brownian motion. IAAS--Preprint Nr. 81 (1994). Erscheint in: Probab. Theor. Relat. Fields (1995)