Bearbeiter: A. Bovier
Kooperation: J.-M. Ghez (Université de Toulon)
Beschreibung der Forschungsarbeit: Durch die Entdeckung der sogenannten `Quasikristalle' ist das Interesse an den Eigenschaften von Strukturen, die weder `zufällig' noch `periodisch' sind, stark gewachsen. Zudem ist es heute technologisch möglich, geschichtete Halbleiter jeder gewünschten Struktur (`Supergitter') herzustellen.
Ein erster Schritt ist hier die Untersuchung der spektralen Eigenschaften der entsprechenden Schrödingeroperatoren. Dabei zeigt sich, daß diesen neuartigen Strukturen ganz eigene früher als `exotisch' geltende, spektrale Eigenschaften zukommen, nämlich der Typ des singulär stetigen Spektrums. So konnte in einer großen Klasse eindimensionaler Schrödingeroperatoren mit Potentialen, die durch sogenannte `Substitutionsfolgen' beschrieben werden, gezeigt werden, daß das Spektrum aus einer fraktalen Cantormenge besteht. In [1] haben wir auf die Gültigkeit unserer früheren Resultate in den für `Supergitter' relevanten Kronig-Penney Modellen hingewiesen sowie das Vorkommen und die Rolle rekursiver bzw. ausgedehnter Lösungen der Schrödingergleichung diskutiert.
Interessante Fragen stellen sich bezüglich des Zusammenhangs zwischen fraktalen, bzw. multifraktalen Eigenschaften des Spektrums bzw. des Spektralmaßes dieser Operatoren zu charakteristischen Transportgrößen, etwa im Sinne einer Verfeinerung des RAGE Theorems. Über allererste Ansätze hinaus ist diesbezüglich noch weitgehend Neuland zu betreten.
Förderung: EU, HCM-Projekt ,,Stochastic modelling of large disordered systems``
Projektliteratur: