Bearbeiter: G. Schmidt
Kooperation: V. Maz'ya (Universität Linköping, Schweden), R. Williams (MIT Cambridge, USA)
Beschreibung der Forschungsarbeit:
In den letzten Jahren wurden von V. Maz'ya numerische Algorithmen zur Lösung nichtlinearer partieller Differential-- und Integrodifferentialgleichungen entwickelt, die auf der Anwendung von Integralgleichungsmethoden und speziellen Approximationsverfahren beruhen. Diese Verfahren nutzen Basisfunktionen, die die effektive Auswertung von verschiedenen Potentialoperatoren der mathematischen Physik ermöglichen, aber nicht Polynome reproduzieren können. Die Konvergenzanalyse der vorgeschlagenen numerischen Algorithmen erfordert die theoretische Untersuchung der genannten Approximationsverfahren. Da Polynome nicht reproduziert werden und die Anwendung bei numerischen Verfahren im Hintergrund steht, ist es günstig, einen modifizierten Approximationsbegriff einzuführen. Es wird verlangt, daß das Verfahren Funktionen mit einer gewissen Ordnung bis zu einer vorgegebenen Genauigkeit approximiert, aber im Grenzfall müssen die Approximierenden nicht gegen die Funktion konvergieren. Vom Standpunkt der Numerik aus sind diese Forderungen plausibel, da bei der numerischen Lösung von Anwendungsproblemen die gewünschten Größen immer innerhalb gewisser Toleranzen berechnet werden müssen. Andererseits wird durch diesen Zugang die Klasse der approximierenden Funktionen wesentlich erweitert, so daß es möglich ist, neue Algorithmen zu entwickeln, die auf der Anwendung von Integralgleichungsmethoden basieren. Im Falle nichtlinearer Evolutionsgleichungen wurden explizite Lösungverfahren implementiert, die gegenüber bekannten Verfahren wesentlich genauer und robuster sind.
1994 lag der Schwerpunkt der Arbeiten auf der theoretischen Untersuchung der genannten Approximationsverfahren. In [1] wurden Bedingungen an die approximierenden Funktionen formuliert, so daß Quasiinterpolanten konstruiert werden können, die mit vorgegebener Ordnung bis zu einer beliebig kleinen Genauigkeit approximieren. Es werden Fehlerabschätzungen angegeben und verschiedene Konstuktionsmethoden beschrieben. Die entstehenden Quasiinterpolanten zeigen numerisch ein ähnliches Verhalten wie Box--Splines, sind aber einfacher zu implementieren und besitzen bessere analytische Eigenschaften. In [2] wird die Idee der ,,approximate approximation`` auf den Fall der Approximation mit Gaussfunktionen angewendet, die seit einiger Zeit in der Literatur intensiv untersucht wird. Die erzielten Ergebnisse, die u.a. zur Begründung neuartiger Kubaturformeln für Potentialoperatoren verwendet werden können, ermöglichen die Charakterisierung der Abschließung von verschiebungsinvarianten Räumen in verschiedenen Metriken.
Projektliteratur: