Randintegraloperatoren und die schnelle Lösung der biharmonischen Gleichung

Bearbeiter: G. Schmidt

Kooperation: B.N. Khoromskij (Joint Institute for Nuclear Research, Dubna, Rußland)

Beschreibung der Forschungsarbeit:

Es werden Randintegraloperatoren und deren Anwendung für die schnelle Lösung des Dirichletproblems für die biharmonische Gleichung in Gebieten mit Ecken untersucht. Zur theoretischen Begründung von Randelementmethoden zur Lösung von Randwertaufgaben für elliptische Gleichungen in nichtglatten Gebieten werden die Abbildungseigenschaften von Randintegraloperatoren in den Spurräumen der schwachen Lösung benötigt. Für Gleichungen 2. Ordnung wurden diese Eigenschaften in den 80er Jahren umfassend untersucht, während für Gleichungen höherer Ordnung keine Ergebnisse bekannt sind. Für den Fall des Dirichletproblems für die biharmonische Gleichung gelang es in [1], durch die Übertragung von Methoden für Gleichungen 2. Ordnung die Abbildungseigenschaften der entsprechenden Randintegraloperatoren vollständig zu beschreiben und äquivalente Randintegralgleichungen für das innere und äußere Problem abzuleiten. Als Nebenprodukt ergibt sich eine Beschreibung der Steklov--Poincaré Operatoren, die die Dirichletdaten einer biharmonischen Funktion auf deren Neumanndaten abbilden. Mit Hilfe dieser Ergebnisse kann ein optimaler Algorithmus zur Lösung des Dirichletproblems angegeben werden (eine Arbeit hierzu ist in Vorbereitung).

Förderung: DFG

Projektliteratur:

1. G. Schmidt, B.N. Khoromskij: Boundary integral equations for the biharmonic Dirichlet problem on nonsmooth domains. WIAS--Preprint Nr. 129 (1994)

Forschungsgruppe 5