Multiskalen--Methoden für die numerische Behandlung von Operatorgleichungen

Bearbeiter: A. Kunoth, S. Prößdorf

Kooperation: W. Dahmen (RWTH Aachen)

Beschreibung der Forschungsarbeit:

Gegenstand des am 1.12.1994 angelaufenen Projektes ist die Entwicklung von Multiskalen--Verfahren zur numerischen Behandlung von partiellen Differentialgleichungen und Integralgleichungen, speziell unter Verwendung von Methoden der Theorie der Funktionenräume und der Approximationstheorie. Dabei sollen prinzipiell zwei Richtungen verfolgt werden: zum einen Methoden zur Multilevel--Vorkonditionierung von elliptischen Randwertproblemen höherer Ordnung und Systemen elliptischer Probleme, zum anderen die Entwicklung von schnellen Multiskalen--Lösern für Integralgleichungen.

In [2] wird gezeigt, wie sich unter Verwendung von Multilevel--Methoden Sattelpunktsprobleme optimal vorkonditionieren lassen, die durch Anhängen essentieller Randbedingungen an die Galerkin--Formulierung elliptischer Differentialgleichungen entstehen. Ähnliche Techniken zur Konstruktion eines Vorkonditionierers werden in [1] zur Behandlung instationärer Stokes--Probleme verwendet. Am technisch eher aufwendigen Teil des Nachprüfens verschiedener Bedingungen wie etwa einer Jackson--Ungleichung für konkrete Beispiele wird zur Zeit gearbeitet. Des weiteren wird in [1] gezeigt, wie sich die Flexibilität von Wavelets im Vergleich zu klassischen Finiten Elementen ausnutzen läßt, um die Erfüllung der Ladysenskaja--Babuska--Brezzi--Bedingung in beliebiger Dimension unabhängig von der Diskretisierung zu gewährleisten.

Förderung: DFG

Projektliteratur:

1. W. Dahmen, A. Kunoth, K. Urban, A Wavelet--Galerkin Method for the Stokes--Equations. (in Vorbereitung)
2. A. Kunoth: Multilevel Preconditioning --- Appending Boundary Conditions by Lagrange Multipliers. (Dezember 1994) (erscheint in Advances in Computational Mathematics)