Pfadverfolgung homokliner Lösungen

Bearbeiter: B. Sandstede

Kooperation: A.R. Champneys (Bristol), J. Härterich (FU Berlin), Y.A. Kuznetsov (Amsterdam)

Beschreibung der Forschungsarbeit: In den letzten Jahren wurde die numerische Berechnung homokliner Lösungen verstärkt untersucht. Diese Lösungen gewöhnlicher Differentialgleichungen entsprechen laufenden Wellen mit pulsförmiger Gestalt, wie sie beispielsweise in der mathematischen Biologie (FitzHugh-Nagumo Gleichungen) oder der nichtlinearen Optik auftreten. Dabei sind nicht nur die primären homoklinen Lösungen, sondern auch eventuell vorhandene N-homokline Orbits wichtig.
In [5] wurden die Fehlerabschätzungen sowohl für die numerische Approximation eines homoklinen Orbits als auch für die zugehörigen Parameterwerte verbessert. Es zeigt sich, daß die in der Praxis beobachtete Superkonvergenz im Parameter tatsächlich bewiesen werden kann. Die Entdeckung und akkurate Berechnung von Verzweigungspunkten, in denen N-homokline Orbits entstehen, erfordert in einigen Fällen die Lösung von erweiterten Systemen. In [4] wurde ein Algorithmus untersucht, der die Berechnung von Inclination-flip-Verzweigungen erlaubt. Dabei wurde Konvergenz und Stabilität des Verfahrens bewiesen. Dieses Verfahren wurde neben anderen anschließend in dem Driver AUTHOMCONT für das von Doedel und Kernevez stammende Software Paket AUTO86 implementiert, siehe [2]. Das Programm AUTHOMCONT erlaubt die numerische Pfadverfolgung homokliner Lösungen und die Berechnung von homoklinen Verzweigungspunkten. Dabei wurde auch gezeigt, daß auf die numerisch instabile Berechnung von Eigenvektoren zur Bestimmung der Randbedingungen verzichtet werden kann. Stattdessen wird ein stabiles Verfahren benutzt, das die Matrix in die zugehörige Schursche Normalform transformiert. Um die numerischen Eigenschaften dieses und anderer Algorithmen untersuchen zu können, werden Gleichungen benötigt, die explizit bekannte homokline Lösungen und möglichst viele Parameter besitzen. In [3] wurde gezeigt, wie systematisch Gleichungen konstruiert werden können, die neben homoklinen Lösungen auch entsprechende Verzweigungspunkte zulassen. Darüberhinaus sind diese Differentialgleichungen nicht steif. Sie erlauben es, Algorithmen systematisch zu testen.
Daneben wurde in [1] gezeigt, wie komplizierte Dynamik aus einem einfachen Umkehrpunkt eines homoklinen Orbits im Parameterraum heraus entsteht, falls dieser Orbit gegen ein nicht-hyperbolisches Gleichgewicht konvergiert.

Projektliteratur:

1. A.R. Champneys, J. Härterich, B. Sandstede: A non-transverse homoclinic orbit to a saddle-node equilibrium. Preprint, University of Bristol, Appl. Nonl. Math. Research Report No. 2.94, (1994).
2. A.R. Champneys, Y.A. Kuznetsov, B. Sandstede: Implementation and application of a numerical continuation environment for homoclinic bifurcations. In Vorbereitung.
3. B. Sandstede: Constructing dynamical systems possessing homoclinic bifurcation points of codimension two. In Vorbereitung.
4. B. Sandstede: Numerical computation of homoclinic flip-bifurcations. In Vorbereitung.
5. B. Sandstede: Convergence estimates for the numerical approximation of homoclinic solutions. In Vorbereitung.