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Waveformiteration zur Lösung von Anfangswertproblemen für große Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen

Bearbeiter: I. Bremer, K.R. Schneider

Beschreibung der Forschungsarbeit:

Die Verwendung handelsüblicher Solver zur Lösung von Anfangswertproblemen für sehr große Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen führt zu einem enormen Anstieg der Rechenzeit. Zu Beginn der achtziger Jahre wurde zur numerischen Untersuchung des Zeitverhaltens großer Schaltkreise die sogenannte Kurveniterationsmethode eingeführt, die auf einer Zerlegung des Gesamtsystems in wechselwirkende Teilsysteme und einer iterativen Approximation der Lösung in einem geeigneten Funktionenraum beruht. Ein Vorteil der Kurveniterationsmethode besteht darin, daß sie unmittelbar auf Parallelrechner (Multiprozessor-Maschinen) übertragen werden kann.
Die Untersuchungen haben das Ziel, die Konvergenz der Kurveniterationsmethode zu studieren und den Anwendungsbereich dieses Verfahrens auszubauen. Dazu werden schrittweise die mathematischen Grundlagen gelegt, die sich insbesondere auf den Zusammenhang von Konvergenz und Diskretisierungsschrittweite beziehen. Die generelle Methode ist die Darstellung des diskreten Verfahrens als Iteration in einem Banachraum von stetigen Funktionen, so daß eine einheitliche Behandlung des kontinuierlichen und des diskreten Falls möglich ist. In diesem Jahr lag der Schwerpunkt auf der Verbesserung der adaptiven Schrittweitensteuerung und der Verwendung moderner Diskretisierungsmethoden. Darüber hinaus wurde die Implementierung der Parallelversion verbessert und erfolgreich getestet.

Die theoretischen Untersuchungen unter Einbeziehung des semiimpliziten Eulerverfahrens wurden abgeschlossen und auf der DMV-Jahrestagung vorgestellt. Eine Implementierung auf der Basis des semiimpliziten Eulerverfahrens steht vor dem Abschluß. Es wurde gezeigt, wie die Ausnutzung einseitiger Lipschitzbedingungen zur theoretischen Fundierung der Schrittweitensteuerung bei steifen Systemen verwendet werden kann.

Projektliteratur:

  1. I. Bremer: Waveform iteration and one-sided Lipschitz conditions. WIAS-Preprint No. 133 (1994)
  2. K.R. Schneider: A remark on the convergence of waveform relaxation method. In Vorbereitung.



BREMERO
Wed Apr 12 21:47:02 MDT 1995