Stochastische Modelle in der Dynamik

Bearbeiter: J. Schmeling, R. Siegmund--Schultze

Kooperation: K. Matthes (Universität Potsdam), A.N. Rybko (Moskau, IPPI der Akademie), A. Wakolbinger (Universität Frankfurt/Main)

Beschreibung der Forschungsarbeit: Im vergangenen Jahr wurden verschiedene Untersuchungen zum Verhalten von dynamischen Systemen mit zufälliger Komponente (ein Bindeglied zur Wahrscheinlichkeitstheorie und insbesondere zur Theorie stochastischer Prozesse) fortgeführt.

Dabei ging es einerseits um die Untersuchung der geometrischen Struktur von zufälligen fraktalen Ma, wobei diese als Modellfall für die in der determinierten Dynamik auftretenden invarianten Ma (z.B. Sinaï-Bowen-Ruelle-Ma) angesehen werden können. Ein wichtiges Charakteristikum für diese Ma ist das Dimensionsspektrum, das besonders in physikalischen Anwendungen herangezogen wird, um Ma auf Attraktoren näher zu beschreiben. Der Versuch, in relevanten Fällen dieses Spektrum mathematisch streng zu bestimmen, stö auf beachtliche Schwierigkeiten. Ein schon seit längerem angestrebtes Resultat, das die Ergebnisse der Arbeit [2] auf den stochastischen Fall übertragen soll, erwies sich wesentlich komplizierter als ursprünglich erwartet und konnte noch nicht vollständig abgeleitet werden. Die Arbeit daran wird fortgesetzt. Über dieses Thema wurde im März auf einer Konferenz in Jerusalem vorgetragen.

Eine weitere Thematik wird in Kooperation mit K. Matthes (Universität Potsdam) und A. Wakolbinger (Universität Frankfurt) bearbeitet und steht in Zusammenhang mit der erstgenannten Fragestellung. Es geht dabei um Untersuchungen der genealogischen Struktur von Verzweigungsprozessen in allgemeinen Phasenräumen (siehe [1]). Die Arbeit setzt eine ganze Reihe von Publikationen zu dieser Thematik fort.

Thema einer Zusammenarbeit mit A.N. Rybko (Moskau) ist die Frage nach dem Zusammenhang von (teilweise oder vollständig) deterministischen Grenzdynamiken, die sich aus stochastischen Modellen durch einen Kontinuums-Grenzübergang ergeben, mit dem ergodischen Verhalten des betrachteten stochastischen Modells. Hierbei werden Modelle aus der Theorie der Bedienungsnetzwerke und neuronale Netze betrachtet.

Projektliteratur:

1. K. Matthes, R. Siegmund--Schultze, A. Wakolbinger: Recurrence of ancestral lines and offspring trees in time stationary branching populations, Preprint IAAS No. 8 (1994)
2. J. Schmeling, R. Siegmund--Schultze: The singularity spectrum of self-affine fractals with a Bernoulli measure, Preprint IAAS No. 14 (1992)