Hyperbolische Endomorphismen mit Singularitäten

Bearbeiter: H.G. Bothe, J. Schmeling

Kooperation: S. Troubetzkoy (SUNY), Stony Brook (USA)

Beschreibung der Forschungsarbeit:

Analytisch und numerisch gewonnene Ergebnisse bei gewissen Evolutionsgleichungen zeigen, daß der Lösungsfluß auf Attraktoren nicht völlig sondern nur auf Teilmengen des Phasenraumes umkehrbar ist. Die diesem und ähnlichen Phänomenen zugrundeliegenden Mechanismen anhand einfacher Modelle zu klären ist u.a. das Ziel bei der Untersuchung von nicht eineindeutigen Abbildungen und der durch sie erzeugten Dynamik. Von besonderem Interesse sind dabei berechenbare oder zumindest abschätzbare Grö wie die Lyapunov-Exponenten, die verschiedenen Dimensionen, die Entropie u.ä. Zudem gilt es, möglichst umfassende invariante Bereiche im Attraktor zu finden, in denen die Dynamik umkehrbar ist, wobei der Vergleich verschiedener Gebiete sich auf ein physikalisch definiertes Maß (SRB--Maß) zu stützen hat. Insbesondere sucht man nach Bedingungen, unter denen diese Gebiete das volle Maß des Attraktors besitzen.

Es ist gelungen, bei gewissen, aus physikalischen Untersuchungen hervorgegangenen Attraktoren (Belykh Attraktoren) von hyperbolischen Flächenendomorhismen Kriterien für die Existenz solcher Ma und solcher umfassenden Gebiete mit injektiver Dynamik zu finden [5].

In diesen Zusammenhang gehören auch Ergebnisse zur Frage, unter welchen Bedingungen wenigstens im generischen Sinne bezüglich kleiner Störungen der Abbildung auf einem Attraktor einer nicht eineindeutigen Abbildung Eineindeutigkeit vorliegt [2].

Förderung: NATO-Förderung CRG.941044

Projektliteratur:

1. V.P. Belykh: Models of discrete systems of phase synchronization. Systems of phase synchronization (ed. V.V. Schakhidyan and L.N. Belyusina), Radio i Svyaz, Moscow 1982, pp. 161--216
2. H.G. Bothe: Atttractors of non invertible maps. Preprint IAAS No. 77 (1993)
3. Ya.B. Pesin: Dynamical systems with generalized hyperbolic attractors: ergodic and topological properties. Ergod. Th. Dyn. Sys. 12 (1992) pp. 123--151
4. E.A. Sataev: Invariant measures for hyperbolic maps with singularities. Usp. Mat. Nauk 47:1 (1992) pp. 147--202
5. J. Schmeling, S. Troubetzkoy: Invertibility of hyperbolic endomorphisms with singularities. Preprint Stony Brook (in Vorbereitung)