Bearbeiter: H.G. Bothe, U. Bellack
Beschreibung der Forschungsarbeit:
In vielen Fällen wird das Langzeitverhalten von Prozessen durch Attraktoren in einem passend eingeführten Phasenraum bestimmt. Nicht voraussagbare Abläufe (man nennt sie zuweilen chaotisch) genügen dabei oft strengen Regeln, die in geometrischen und ergodentheoretischen Eigenschaften dieser Attraktoren ein Äquivalent haben und dadurch für eine strenge mathematische Beschreibung zugänglich werden. Die hierher gehörige Grundlagenforschung sucht in markanten verallgemeinerungsfähigen Fällen Einblicke in die Attraktorenstruktur zu gewinnen und so allgemeingültige Gesetzmä nicht nur zu beschreiben sondern auch die ihnen zugrundeliegenden Mechanismen aufzudecken. Zu diesem Zweck werden heute vor allem geometrische und ma Methoden angewandt.
In dem Projekt geht es zunächst vorrangig um geometrische Fragen; für interessante Erkenntnisse über invariante Ma liegen Ansätze aber noch keine abrechenbare Ergebnisse vor. Gegenstand der Untersuchungen sind hauptsächlich hyperbolische Attraktoren. Daneben werden auch einige Fälle solcher Attraktoren betrachtet, die aus hyperbolischen Attraktoren durch eine Bifurkation hervorgehen, selbst aber nicht mehr hyperbolisch sind.
Das Hauptergebnis des Berichtszeitraumes betrifft die Frage, wieweit bei
speziellen Attraktoren 
die innere Struktur von 
die Dynamik
auf dem Einzugsbereich 
von 
bestimmt. Als eines
der konkreten Resultate sei angeführt, daß, von einigen seltenen Ausnahmen
abgesehen, bei eindimensionalen hyperbolischen Attraktoren 
in
mindestens 6-dimensionalen Phasenräumen die innere Struktur von 
die Dynamik auf 
völlig bestimmt, und daß in den
niedrigerdimensionalen Fällen die Topologie von 
(ohne die
Dynamik) vollständig oder bis auf Homotopieäquivalenz durch 
festgelegt ist. Es wurde eine Konstruktion beschrieben, durch die man
aus 
gewinnt.
Was die Relevanz und Verallgemeinerungsfähigkeit dieses Ergebnisses betrifft,
so deuten die Beweise darauf hin, daß entsprechende Verhältnisse sehr
wahrscheinlich auch bei gewissen höherdimensionalen hyperbolischen Attraktoren
vorliegen, und daß man ähnliche Erscheinungen in viel allgemeineren
Fällen erwarten kann. Eine den Untersuchungen inhäränte Einschränkung liegt
darin, daß sie nur die topologische Gestalt von 
mit der Dynamik
nicht aber die Einbettung in den Phasenraum und damit auch nicht den Rand von
betreffen.
Für einige nicht hyperbolische aber durch eine Hopf--ähnliche Bifurkation aus einem hyperbolischen Attraktor hervorgegangene Attraktoren konnte die geometrische Struktur weitgehend geklärt und der Bifurkationsvorgang beschrieben werden. Es bleibt hier jedoch zu klären, wie allgemein dieser Bifurkationsweg ist. Zudem sind z.T. numerisch erhaltene Anzeichen zu untersuchen, die auf ein interessantes Bifurkationsverhalten des Sinaï--Bowen--Ruelle--Ma hindeuten.
Projektliteratur: