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Numerik komplexer stochastischer Modelle

Bearbeiter: P. Mathé , W. Metzner , G. N. Milstein , K. K. Sabelfeld , J.-H. Zacharias-Langhans  

Kooperation: S. Orszag (Yale University, USA), T. Vesala (Universität Helsinki, Finnland), P. K. Yeung (Georgian Institute of Technology, USA), O. Kurbanmuradov (Physikalisch-Technisches Institut, Turkmenische Akademie der Wissenschaften, Aschchabad), I. A. Shalimova (Institute of Computational Mathematics and Mathematical Geophysics, Russische Akademie der Wissenschaften, Novosibirsk, Russland), G&W INSTRUMENTS (Berlin), Y. Kashtanov (Universität St. Petersburg, Russland), M. Tretyakov (Universität Swansea, Großbritannien)

Förderung: BMBF: ,,Entwicklung der mathematischen Grundlagen für ein neues Ultraschallpulsmessverfahren`` (03-MAFV1-5), INTAS, NATO

Beschreibung der Forschungsarbeit: Dieses Projekt untersucht die Grundlagen der Modellierung und Numerik von komplexen physikalischen Phänomenen. Komplexe physikalische Zusammenhänge können oftmals durch stochastische Modelle so gut beschrieben werden, dass quantitative Voraussagen über deren Verhalten gemacht werden können. Typische Anwendungen hierfür sind Phänomene der Ausbreitung von Substanzen, wie Aerosolen in stark fluktuierenden physikalischen Feldern, aber auch der Wellenausbreitung in Medien mit vielen Streuzentren. Das Studium derartiger Modelle ist algorithmisch orientiert. Um in konkreten Anwendungen quantitative Vorhersagen machen zu können, ist eine effiziente, fundierte Numerik unerlässlich. Die numerischen Forschungen im Projekt konzentrieren sich sowohl auf Modelle des Transports von Substanzen und Aerosolpartikeln in turbulenten Medien, wie der Grenzschicht der Atmosphäre, als auch auf hochdimensionale Integrationsprobleme, bei denen eine direkte Simulation der zufälligen Einflüsse nicht möglich ist und nur asymptotisch erwartungstreue Schätzungen verfügbar sind (Markov Chain, Monte Carlo).

Stochastische Modelle für den Transport von Aerosolpartikeln in der Grenzschicht der turbulenten Atmosphäre (Bearbeiter: K. K. Sabelfeld).

Die Menschheit wird mit einer zunehmenden Anzahl von lokalen, regionalen und globalen Umweltproblemen konfrontiert, die mit erheblichen ökologischen, ökonomischen und sozialen Auswirkungen verbunden sind. Innerhalb des Klimasystems ist das atmosphärische Aerosol ein multidimensionaler Parameter von immenser Bedeutung, dessen Einfluss sich heute noch nicht abschätzen lässt. Wenn man sich auf eine Bezugsgröße wie den Radius verständigt, also die suspendierten Teilchen als kugelförmig annimmt, so muss man sehr viele direkte und indirekte radiusabhängige Größen betrachten. In Form von ,,Dichte-Verteilungen`` sind direkte Abhängige z. B. Anzahl (Menge), Volumen, Oberfläche, Form, chemische Zusammensetzung (auch biologische) und elektrische Ladung. Indirekte Abhängige sind Material- und hydrodynamische Dichte, optische Brechung und Absorption, Radioaktivität, Phasenzustand (fest, flüssig oder beides), Wasseranlagerung (Vorkondensation, Wolken- und Nebelbildung), struktureller Aufbau der Teilchen (z. B. schalenförmige Anordnung der chemischen Bestandteile, chemisch aktive Zentren auf der Oberfläche -- Stichwort Eiskeime) und andere. Jede Inhomogenität im Gas kann zur Differenz von Geschwindigkeiten der Partikel führen. Das heißt, die relative Geschwindigkeit zwischen zwei Partikeln ist dann positiv, und es ergibt sich eine Kollision und danach eine Koagulation. Wir erwähnen folgende Phänomene, die zur Koagulation führen: Brown'sche Bewegung, Gravitationsfall, frei molekulare Kollision, turbulente Bewegung der tragenden Strömung, akustische Wellen, die Gradienten der Dichte der Konzentration und der Temperatur, die elektrische Ladung. In unterschiedlichen Strömungen wirken auch unterschiedliche Koagulationsregimes; in [26, 27] haben wir beispielsweise frei molekulare Kollision verwendet, und in [7] waren komplizierte turbulente Koagulationsregimes unvermeidbar. Folgende Schwerpunkte bestehen in diesem Projekt:

• Entwicklung stochastischer Modelle und Methoden für die Simulation der klassischen, völlig entwickelten turbulenten Strömungen, und Studie des turbulenten Transports, der turbulenten Verbrennung, Nukleation und Koagulation von Partikeln in turbulenten Regimes.
• Numerische Simulation der stochastischen Phänomene für folgende industrieorientierte Probleme: turbulente Verbrennung in Motoren und Analyse der Formung von Aerosol-Partikeln des Auspuffs, turbulenter Transport von Aerosol-Partikeln in der Atmosphäre und deren Einfluss auf die Aufforstung.

Als aussichtsvolles Anwendungsgebiet, für das die entwickelten stochastischen Algorithmen und insbesondere die ,,Backward Trajectory-Technik`` effektiv sein sollte, wird das so genannte ,,Footprint Problem`` ([2], [9]) betrachtet: Es ist erforderlich, den relativen Beitrag von verschiedenen Quellen der Aerosol-Partikel in einem fixierten Punkt zu berechnen. Dabei wird angenommen, dass die Größe der Quellen groß genug ist (z. B. Auspuffgase). In diesem Fall simuliert man die Trajektorien rückwärts: Die Trajektorien starten aus dem Detektor und enden in den Quellen.

Gegenstand des Projekts ist die Konstruktion und Entwicklung neuer stochastischer Modelle und Monte-Carlo-Methoden für die Modellierung des Transports von Substanzen und Aerosolpartikeln in der Grenzschicht der Atmosphäre mit Anwendungen in der Aufforstung. Die Aerosol-Partikel wachsen in einem komplizierten Phasenübergang aus dem Gas. Das erste Stadium, die Nukleation, ist mit zwei Hauptmethoden beschrieben: Die erste ist die klassische thermodynamische Methode, die die kritische Größe der stabilen Monomeren gibt. Leider kann man mit dieser Methode nur einfachste Systeme behandeln. In der zweiten Methode nutzt man die Smoluchowski-Gleichung mit entsprechenden Verdampfungs- und Kondensations-Koeffizienten. In beiden Verfahren nutzt man Monte-Carlo-Methoden. Das zweite Stadium ist die Koagulation: Die stabilen Monomeren wachsen über Kondensation und Kollisionen mit anderen Partikeln. Die Zahl der Gleichungen im Smoluchowski-System ist enorm. Tatsächlich besteht ein Partikel von der Größe eines Mikrons aus etwa 10⁹ - 10¹⁰ Atomen, und es ist praktisch nicht möglich, diese Information zu speichern (was aber in deterministischen Methoden notwendig ist). Die stochastische Beschreibung hat hier den Vorteil, nicht alle Partikel behandeln und speichern zu müssen. Ein wichtiges Problem ist die Abschätzung der Konvergenzgeschwindigkeit des stochastischen Systems, das aus N Partikeln besteht.

Die Geschwindigkeitskomponenten $u_i( {\bf x} ,t),\ gt i=1,2,3,$ in turbulenten Strömungen werden in der statistischen Strömungsmechanik als zufällige Felder betrachtet. Deshalb sind die Substanzkonzentrationen auch stochastische Felder. In Anwendungen interessiert man sich nicht für die Realisierungen dieser Felder, sondern für die Mittelwerte von Konzentrationen und ihren Flüssen. Man verwendet zwei grundlegende Methoden für die Berechnung dieser Mittelwerte:

(i) Die klassische halbempirische Beschreibung dieser Probleme basiert auf der Mittelwertbildung und dem Verschluss-Verfahren und

(ii) Lagrange'scher stochastischer Simulationsmethoden.

Die halbempirische Betrachtung ist in der Praxis ausführlich und fortgeschritten, aber das Verschluss-Problem ist bis heute nicht gelöst. Außerdem sind die Anwendungsgebiete sehr beschränkt und sogar oft unklar. Die Haupteinschränkung der halbempirischen Betrachtung besteht darin, dass die räumlichen Maßstäbe der Turbulenz viel kleiner sein sollen als die räumlichen Maßstäbe der Substanzkonzentrationsfelder.

Die Lagrange'schen stochastischen Simulationsmethoden sind frei von der oben erwähnten Einschränkung, und das Verschluss-Problem taucht hier nicht auf. Das Hauptproblem besteht hier in der Berechnung der Lagrange'schen Übergangsdichte

$$p_L( {\bf x} ,t; {\bf x} _0,t_0)=\langle \delta( {\bf x} - {\bf X} (t; {\bf x} _0,t_0))\rangle~,$$

wobei man durch ${\bf X} (t)= {\bf X} (t; {\bf x} _0,t_0)$, $t\ge t_0$, die Lagrange'sche Trajektorie bezeichnet, die im Punkt ${\bf x} _0$ zur Zeit t=t₀ startet, und die das folgende Problem löst:

$$\frac { d {\bf X} (t)} { d t}= {\bf u} ( {\bf X} (t),t),\quad t\gt t_0 \quad {\bf X} (t_0)= {\bf x} _0~.$$

Hier bezeichnen wir durch ${\bf u} ( {\bf x} ,t)=(u_1( {\bf x} ,t),u_2( {\bf x} ,t),u_3( {\bf x} ,t))$den Geschwindigkeitsvektor.

Kennt man die Dichte $p_L( {\bf x} ,t; {\bf x} _0,t_0)$,so berechnet man die Mittelwerte von Konzentrationen und ihren Flüssen. Die Konzentration ist durch das Integral ([3, 17])

  $$\begin{eqnarray} \hspace{-0.3cm}\langle c( {\bf x} ,t)\rangle= \bar c( {\bf x} ,... ..._Dd {\bf x} _0 \, q( {\bf x} _0,t_0)p_L( {\bf x} ,t; {\bf x} _0,t)\end{eqnarray}$$

gegeben, wobei $q( {\bf x} _0,t_0)$ die Quelleverteilung ist.

Die wichtigste Frage ist hier also: Wie kann man die Lagrange'sche Dichte $p_L( {\bf x} ,t; {\bf x} _0,t)$ bei stochastischen Verfahren konstruieren? Es gibt zwei grundlegende Methoden im Rahmen der stochastischen Beschreibung. Die erste, die Euler'sche, basiert auf Simulation der Euler'schen Geschwindigkeit mit gegebener Verteilung. Man modelliert die Bewegung der Partikel-Trajektorien in den stochastisch simulierenden Geschwindigkeits-Samples. Im Lagrange'schen Schema simuliert man die Lagrange'schen Trajektorien wie einen stochastischen Prozess [2-6] (betrachtet als eine Lösung eines Systems stochastischer Differentialgleichungen).

In Euler'schen Methoden ist es im Prinzip möglich, die Geschwindigkeit bei der DNS-Methode (Direct Numerical Simulation Method) zu simulieren. Die Pionierarbeiten von S. Orszag, der die DNS-Methode vorschlug, waren an Navier-Stokes-Gleichungen erprobt. Leider ist diese Methode nicht anwendbar, wenn die Reynolds-Zahl sehr groß ist. Das bedeutet, dass man nicht die völlig entwickelte Turbulenz mit DNS (wie auch mit anderen numerischen Methoden) simulieren kann. Deshalb ist die stochastische Behandlung der völlig entwickelten Turbulenz sehr wichtig. Die stochastische Theorie der Turbulenz wurde wesentlich von Taylor, Richardson, Kolmogorov und Obukhov entwickelt. Die stochastische Simulation des turbulenten Transports, die auf der Randomized-Spektral-Darstellung der Euler'schen turbulenten Geschwindigkeit basierte, wurde zuerst von R. Kraichnan betrachtet. Dieses Modell wurde von weiteren Autoren entwickelt, ausgerichtet und verallgemeinert, und in [31] wurde eine weitere Methode, die so genannte ,,Backward Trajectory Technique`` eingeführt. Diese Methode ermöglicht es, die Konzentration des Schadstoffes und die Lagrange'sche Korrelationsfunktion effektiv zu berechnen. Leider ist diese Methode, die auf Monte-Carlo-Simulation der Euler'schen Geschwindigkeit basiert, nur anwendbar, wenn die Geschwindigkeitsfelder homogen und gaußverteilt sind. In praktischen Anwendungen, wie z. B. Schichten der Atmosphäre, sind die Geschwindigkeitsfelder im Wesentlichen nichthomogen. Deshalb sind die Lagrange'schen stochastischen Modelle (LSM) entwickelt worden, die nichthomogene wie auch nichtgaußsche Geschwindigkeitsverteilungen berücksichtigen. Wir beschreiben nun die wichtigsten Prinzipien, auf denen die LSM-Methode basiert. In der LSM-Beschreibung ist die wahre Trajektorie ${\bf X} (t)$ durch eine simulierte Trajektorie $\hat {\bf X} (t)$approximiert, die wie eine Lösung von einer stochastischen Differentialgleichung des Ito-Typs konstruiert ist (siehe z. B [6], [29], [34]):

  $$\begin{eqnarray} d\hat X_i&=&\hat V_idt,\quad d\hat V_i=a_i\,dt+b_{ij}\,dB_j(t), \quad i=1,2,3, \end{eqnarray}$$

wobei mit $\hat V_1,\hat V_2,\hat V_3$ die Komponenten der simulierten Lagrange'schen Geschwindigkeit und mit B₁(t), $B_2(t),\, B_3(t)$ die standardunabhängigen Wiener-Prozesse bezeichnet sind; a_i und b_ij sind im Allgemeinen Funktionen von $(t,\hat {\bf X} ,\hat {\bf V} )$. Hier benutzen wir die Summierungs-Konvention. Im idealen Fall wünschte man sich, dass wahre und simulierte Trajektorien identisch sind: $\hat V_i(t)=u_i(\hat {\bf X} (t),t)$.Aber es ist nicht realistisch, solche Modelle zu konstruieren. Deshalb benutzt man folgende wichtige Prinzipien: Das ,,Consistency principle`` erfordert, dass die Statistik simulierter Trajektorien $\hat {\bf X} (t), \hat {\bf V} (t)$und die von wahren Trajektorien ${\bf X} (t), {\bf V} (t)$ die gleichen Eigenschaften haben. Die Lagrange'schen Geschwindigkeitskomponenten sind wie ${\bf V} (t)= {\bf u} ( {\bf X} (t),t)$ definiert.

Laut Kolmogorov'scher Analogie-Theorie gilt $\langle dV_i dV_j\rangle=\delta_{ij}\, C_0\varepsilon dt, \quad i,j=1,2,3,$wobei wir folgende Bezeichnungen benutzen: dV_i für die Inkrementskomponente der Lagrange'schen Geschwindigkeit, $\varepsilon$ ist die Mittelrate der Dissipation von Turbulenzenergie, C₀ ist eine universelle Konstante ([24]) und $\delta_{ij}$ ist das Kronecker'sche Symbol. Durch $\langle \cdot\rangle$ bezeichnet man den Erwartungswert. Das heißt, dass (siehe z. B. [34]) in (2) die Koeffizienten b_ij durch $b_{ij}=\sqrt{C_0\varepsilon}\delta_{ij}$ definiert sind. Die ,,well-mixed condition`` ist in der folgenden Form geschrieben ([34]):

  $$\begin{eqnarray} \frac {\partial p_E} {\partial t}+u_i\frac {\partial p_E} {\partial x_i}+\frac {\partial } {\partial u_i}(\phi_i)=0.\end{eqnarray}$$

Die Funktion $p_E(u_1,u_2,u_3; {\bf x} ,t)$ ist die Wahrscheinlichkeitsdichte der Euler'schen Geschwindigkeit im Punkt ${\bf x}$ zur Zeit t. Es wird vorausgesetzt, dass diese Funktion gegeben ist, und in der Praxis nimmt man häufig an, dass sie gaußverteilt ist. Die Gleichung (3) ist ein System für die unbekannte Vektorfunktion $\phi=(\phi_1,\phi_2,\phi_3)$,die die Drift-Glieder $\phi_1, \phi_2, \phi_3$ nicht eindeutig definiert. Tatsächlich können wir eine ganze Reihe von Lösungen durch Addieren von $\phi$ zu einer beliebigen Vektorfunktion, deren Divergenz im Geschwindigkeitsraum null ist, bekommen.

Es ist bekannt, dass die ,,well-mixed condition`` nur in Dimension eins das LS-Modell eindeutig definiert ([34]). Im mehrdimensionalen Raum besteht folgendes Problem, das Eindeutigkeitsproblem genannt wird: Gesucht sind zusätzliche mathematische Bedingungen, die auch physikalische Bedeutungen haben, die zusammen mit der ,,well-mixed condition`` eindeutig die Funktionen $\phi_u, \phi_v, \phi_w$ definieren. Das heißt, gesucht werden die Beschleunigungs-Koeffizienten a_u, a_v, a_w, die das LS-Modell eindeutig durch (3) definieren.

Es ist uns gelungen (siehe [6]), ein physikalisch-statistisches Prinzip einzuführen, das das Eindeutigkeitsproblem für ,,convective`` und ,,neutral stratified`` Schichten der Atmosphäre löst. In [10] haben wir eine Validierung von entwickelten stochastischen Modellen durchgeführt und mit DNS-Daten verglichen.

Simulation der Ultraschallausbreitung  (Bearbeiter: P. Mathé, W. Metzner, J.-H. Zacharias-Langhans).

In diesem Projekt ging es darum, Ideen, die aus der Laser-Tomografie stammen, auf die Ultraschall-Tomografie zu übertragen. Ziel war es, die Auflösungsmöglichkeiten bei Ultraschalluntersuchungen in den Bereichen Medizin und Materialprüfung zu verbessern. Während herkömmliche Ultraschallverfahren lediglich reflektierende Grenzflächen auflösen können, soll ein alternatives Verfahren zu einer Charakterisierung des von der Schallwelle durchlaufenen Mediums führen. Unmittelbare Anwendungsmöglichkeiten bieten sich in der Medizin, z. B. bei der Krebsdiagnose, sowie in der Materialprüfung, z. B. bei Asbest-Sanierungen.

Im Rahmen des Projekts wurden von R. Willenbrock und W. Metzner Messungen an verschiedenen Materialien durchgeführt mit dem Ziel, die hierbei auftretenden Signalveränderungen mit materialspezifischen Eigenschaften, wie der Streu- und Absorptionsfähigkeit, in Verbindung zu bringen. Weiterhin sollte überprüft werden, ob die Telegrafengleichung -- als eine Zwischenstufe zwischen Wellen- und Diffusionsgleichung -- geeignet ist, die Ausbreitung von Ultraschallwellen in stark streuenden Medien zu beschreiben. Wie sich im Laufe der Untersuchungen herausgestellt hat, sind die beobachteten Signalverformungen im Wesentlichen auf die verwendete Messapparatur zurückzuführen, und die Telegrafengleichung ist, zumindest im Bereich zeitaufgelöster Signale, mit einer gedämpften Wellengleichung äquivalent.

Andererseits haben numerische Experimente mit zufälligen frequenzbandbeschränkten Dichte- bzw. Geschwindigkeitsprofilen gezeigt, dass die Signale charakteristische Deformationen erfahren können, z. B. Pulsverbreiterung und Coda-Ausbildung. Wir sind der Ansicht, dass in diesem Bereich die gesuchte Analogie zur Lasertomografie gezogen werden kann. Um dies zu bestätigen, müssen erheblich aufwendigere Messungen durchgeführt werden. Die technischen Voraussetzungen hierzu wurden von der Firma G&W-Instruments erst teilweise realisiert.

Es wurde auch Software entwickelt, die dem Experimentator erlaubt, gemessene Signale schnell und bequem zu analysieren, z. B. um Korrekturen des experimentellen Aufbaus vorzunehmen. Das Programm wird grafisch gesteuert und bietet dem Benutzer die Möglichkeit, mehrere Signale gleichzeitig zu bearbeiten und zu vergleichen, Distanzen zu bestimmen, automatische Skalenanpassungen vorzunehmen usw. Außerdem enthält es verschiedene Werkzeuge zur Signalverarbeitung, wie Rauschfilter, Datenreduktion und Frequenzanalyse, Wavelettransformation und beliebige Interpolation, sowie einen Simulator für (eindimensionale) Wellenausbreitung, mit dem die Versuchsbedingungen nachgestellt werden können.

Die mathematischen Untersuchungen zur Lösung der Telegrafengleichung mit Monte-Carlo-Methoden ([4, 5]) führten zur Analyse von Prozessen auf Lie-Gruppen, die auf bestimmte Weise durch einen Poissonprozess gestört werden ([36]). Die Übertragung des Kac'schen Verfahrens auf höhere Raumdimensionen ist problematisch. Die von Orsingher vorgeschlagene Irrfahrt ([28]) in zwei Raumdimensionen führt nämlich nicht auf die Lösung der Telegrafengleichung, so dass nur die von Veselovskaya ([35]) analysierte Verallgemeinerung des Kac'schen Verfahrens als stochastisches Verfahren bleibt.

Die Arbeiten am Projekt endeten mit Auslaufen der Förderung durch das BMBF. Eine ausführliche Darstellung der Arbeit im Rahmen des Projekts findet sich in  [15].

Wahrscheinlichkeitstheoretische Verfahren für die Lösung von Randwertproblemen. Numerische Analysis für Probleme der Stochastischen Dynamik. Wahrscheinlichkeitstheoretische Verfahren (Bearbeiter: G. N. Milstein).

In diesem Teilprojekt werden numerische Verfahren zur Lösung nichtlinearer parabolischer und elliptischer Gleichungen entwickelt und analysiert, siehe [19, 20]. Die Grundidee besteht in der Kombination von bekannten stochastischen Darstellungen von Lösungen linearer partieller Differentialgleichungen mit Techniken für schwache Lösungen stochastischer Differentialgleichungen. Eine Reihe neuer und effizienter Algorithmen, die sowohl ortsabhängige Koeffizienten, als auch Beziehungen zwischen Diffusion und Advektion berücksichtigen, wird vorgeschlagen.

Ein weiterer Untersuchungsgegenstand waren Phänomene stochastischer Resonanz und des gerichteten Transports in derartigen Systemen ([21, 22]). Stabilitätseigenschaften stochastischer Systeme wurden in [18, 23] analysiert.

Dynamische Monte-Carlo-Verfahren (Bearbeiter: P. Mathé).  

Viele physikalisch relevante Größen sind entweder Mittelwerte

$$I(f):=\int f(x) d\mu(x),$$

oder aber deren Bestimmung erfordert als Teilaufgabe Mittelwerte (Integralgleichungen, Transportgleichungen, statistische Physik). Oftmals ist die unmittelbare Simulation der die Mittel bestimmenden Verteilung nicht möglich. Genannt seien hier Mittel bezüglich Gibbs'scher Maße. In derartigen Anwendungen ist die Erzeugung von Zufallszahlen als Markovketten, die asymptotisch die gegebene Verteilung realisieren, ein Ausweg, der historisch in [16] begründet wurde. Dies führt auf Integrationsverfahren mittels Markovketten, wobei obiges Mittel I(f) approximativ bestimmt wird durch

$$I(f)\approx \frac 1 N \sum_{j=1}^N f(X_j),$$

mit $X_1,X_2,\dots,X_N$ Realisierungen einer Markovkette. In konkreten Anwendungen gibt es viele Markovketten, die die gleiche asymptotische Verteilung realisieren. Dann kommt es darauf an, Eigenschaften und Parameter zu identifizieren, die die Konvergenzeigenschaften der Verfahren bestimmen.

Im Mittelpunkt der Untersuchungen stand die Frage der Robustheit, d. h. der Gleichmäßigkeit der Konvergenz auf Klassen von Integranden sowie der asymptotischen Varianz, des Monte-Carlo-Fehlers. Bisherige Ergebnisse konnten für den Fall gleichmäßig ergodischer Markovketten erzielt werden, siehe [11]. Es ist jedoch bekannt ([3]), dass auf nichtkompakten Zustandsräumen Markovketten im Allgemeinen nicht gleichmäßig ergodisch sein können. Vielmehr ist das für diesen Fall adäquate Konzept das der V-gleichmäßig ergodischen Markovketten, die in [17, Kapitel 16] eingeführt wurden. Im Rahmen des Teilprojekts wurde analysiert, auf welchen Klassen von Integranden gleichmäßige Fehlerabschätzungen bei der Integration mittels V-gleichmäßig ergodischer Markovketten möglich sind.

Eine weiterer Gegenstand war das Studium der Simulation von bedingten stochastischen Prozessen ([13]). Wenn die Anzahl der Bedingungen groß wird, kann eine Simulation nur dann schnell erfolgen, wenn für jeden gegebenen Zeitpunkt nur wenige benachbarte Zeitpunkte von Bedeutung sind. Es zeigt sich, dass dies nur für Markovprozesse der Fall ist. Für Gauß'sche Markovprozesse werden explizite Formeln der bedingten Erwartung und Varianz angegeben.

Projektliteratur:

1.   S. N. DUBTSOV, A. I. LEVYKIN, K. K. SABELFELD, Kinetics of aerosol formation during tungsten hexacarbonyl photolysis, J. Aerosol Sci., 31 (2000), No. 5, pp. 509-518.
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3.   S. F. JARNER, E. HANSEN, Geometric ergodicity of Metropolis algorithms, Stochastic Process. Appl., 85 (2000), No. 2, pp. 341-361.
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5.   J. KISYNSKI, On M. Kac's probabilistic formula for the solution of the telegraphist's equation, Ann. Polon. Math., XXIX (1974), pp. 259-272.
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