Integralgleichungsmethoden für Probleme der mathematischen Physik

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Integralgleichungsmethoden für Probleme der mathematischen Physik

Bearbeiter: J. Niebsch , G. Schmidt

Kooperation: V. Maz'ya, T. Ivanov (Universität Linköping, Schweden)

Förderung: INTAS

Die Arbeiten zur theoretischen Untersuchung des Konvergenzverhaltens von Zeitschrittverfahren zur Lösung von nichtlinearen Evolutionsgleichungen mit nichtlokalen Operatoren, die auf einer von V. Maz'ya vorgeschlagenen Approximationsmethode für Integraloperatoren beruhen ([2] enthält einen Überblick dieser Methode), wurden im Wesentlichen abgeschlossen ([1]). Betrachtet wird u. a. ein explizites Zeitschritt-Verfahren zur Lösung des Cauchy-Problems für Gleichungen der Gestalt

$\begin{displaymath} u_t - P_1(D_x)u = P_2(D_x) F(x,t,u,P_3(D_x)u) \; , \; t\gt \; , \; x \in I \! \! R ^d\; , \quad u(x,0) = \varphi(x) \; ,\end{displaymath}$

mit Pseudodifferentialoperatoren P_i(D_x) und einer glatten Funktion F. Die Werte der Näherungslösung $u_n(x)=u(x,n \tau)$ werden aus den Gleichungen

$\begin{eqnarray*} \tau^{-1}(u_n - u_{n-1}) - \theta_1 P_1(D_x)u_n - (1-\theta_1)... ... \quad \ = P_2(D_x)[((1+\theta_2)F_{n-1}(x)-\theta_2F_{n-2}(x)] \end{eqnarray*}$

bestimmt, wobei $F_{n}(x)= F(x,n \tau,u_n,P_3(D_x)u_n)$ und $0<\theta_i \le 1$ sind. Mit den Bezeichnungen

$\begin{displaymath} \mu = \tau \theta_1 \; , \; y = u_n +(\theta_1^{-1} -1)u_{n-... ...} u_{n-1} \; , \; g = \tau[(1+\theta_2)F_{n-1}-\theta_2F_{n-2}]\end{displaymath}$

ergibt sich das lineare Problem

$\begin{displaymath} - \mu P_1(D_x)y + y = f + P_2(D_x)g \; , \; x \in I \! \! R^d \; ,\end{displaymath}$

mit der Lösung y = f +(R-I)f +P₂ Rg, $R=(I- \mu P_1)^{-1}$ . Bei den vorgeschlagenen Näherungsverfahren erfolgt die räumliche Approximation durch Quasi-Interpolanten

$\begin{displaymath} ({\cal M}_h f)(x) = {\cal D}^{-d} \sum_{m \in Z\!\!\!Z^d} f(mh) \eta \big(\frac{x-mh}{{\cal D}h} \big) \; ,\end{displaymath}$

wobei die Basisfunktion $\eta$ und ihre Fouriertransformierte hinreichend schnell fallen und gewisse Momentenbedingungen erfüllen. Die Näherungslösung wird gesucht in der Form

$\begin{eqnarray*} y_h = f +(R-I){\cal M}_h f +P_2 R{\cal M}_h g \; ,\end{eqnarray*}$

so dass sich die Werte von y_h auf dem gleichmäßigen Gitter x_k = kh als endliche Linearkombinationen der Werte der Faltungsoperatoren

$\begin{displaymath} (R \eta)\big(\frac{k-m}{{\cal D}} \big) \quad \mbox{und} \quad (P_2 R \eta) \big(\frac{k-m}{{\cal D}} \big)\end{displaymath}$

ergeben. In vielen relevanten Fällen ist es möglich, die Integrale analytisch zu berechnen oder die beschränkte Anzahl dieser Werte durch eindimensionale Quadraturen im Voraus zu berechnen. Somit erhält man folgende Vorschrift zur Berechnung der Näherungslösung u_n,h des Cauchy-Problems:

$\begin{displaymath} u_{n,h} =u_{n-1,h} + \theta_1^{-1}(R-I){\cal M}_h u_{n-1,h} + \tau P_2 R {\cal M}_h[(1+\theta_2)F_{n-1}-\theta_2F_{n-2}] \; .\end{displaymath}$

Es konnte gezeigt werden, dass z. B. für $\theta_1 = \theta_2 = 1/2$ die Ordnung dieses Diskretisierungsschemas $O(\tau^3 + \tau h^N)$ beträgt, wobei N durch $\eta$ bestimmt wird. So liefert z. B. die Wahl

$\begin{displaymath} \eta(x) = \pi ^{-d/2} L^{(d/2)}_m(\vert x\vert^2)\exp(-\vert x\vert^2)\end{displaymath}$

mit den verallgemeinerten Laguerre'schen Polynomen L^(d/2)_m den Exponenten N=2m+2. Damit wurden die numerischen Resultate, über die in [3] für verschiedene Klassen von Gleichungen mit nichtlokalen Operatoren berichtet wurde, theoretisch untersetzt. Des Weiteren wurde nachgewiesen, dass der bei der Approximation und Kubatur auftretende Sättigungsfehler bei genügend großem $\cal D$ keinen Einfluss auf den Diskretisierungsfehler hat.

Im Fall beschränkter Gebiete oder unstetiger Anfangswerte ist bei diesen Verfahren die effektive Berechnung von Integraloperatoren mit unstetigen Dichten notwendig. In [5] wurden die in [4] vorgeschlagene Methode der Gitterverfeinerung auf anisotrope Gitter verallgemeinert und effektive Formeln zur Kubatur von Potentialen über Polyedergebieten untersucht, wobei gleiche Approximationseigenschaften wie im Fall glatter Funktionen und gleichmäßig verteilter Knotenpunkte erzielt werden.

Projektliteratur:

J. NIEBSCH, Solving evolution equations with approximate approximations, Poster, 9th International Meeting of European Women in Mathematics, Kloster Loccum, 1999.
G. SCHMIDT, Approximate Approximations and their applications, in: The Maz'ya Anniversary Collection, Vol. 1 (J. Rossmann, P. Takác, G. Wildenhain, Hrsg.), Oper. Theory Adv. Appl., 109, Birkhäuser, Basel, 1999, pp. 111-136.
V. KARLIN, V. MAZ'YA, Time-marching algorithms for non-local evolution equations based upon ``approximate approximations'', SIAM J. Sci. Comput., 18 (1997), pp. 736-752.
T. IVANOV, V. MAZ'YA, G. SCHMIDT, Boundary layer approximations and cubature of potentials in domains, Adv. Comput. Math., 10 (1999) No. 3/4, pp. 311-342.
$\dito$ ,Boundary layer approximate approximations for the cubature of potentials, in: Mathematical Aspects of Boundary Element Methods (M. Bonnet, A.-M. Sändig, W. L. Wendland, Hrsg.), Chapman & Hall/CRC Res. Notes Math., London, 1999, pp. 165-177.