Simulation von Mikrowellenschaltungen

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Simulation von Mikrowellenschaltungen

Bearbeiter: G. Hebermehl , R. Schlundt , F.-K. Hübner

Kooperation: W. Heinrich, M. Kunze, T. Tischler, H. Zscheile (Ferdinand-Braun-Institut für Höchstfrequenztechnik, Berlin)

Beschreibung der Forschungsarbeit: Die Arbeiten zur Simulation von Mikrowellenschaltungen wurden unter Einbeziehung von absorbierenden Randbedingungen für offene Strukturen fortgesetzt.

Mikrowellenschaltungen werden in der Mobil- und Satellitenkommunikation, für intelligente Sensorsysteme, im Richtfunkbereich, der KFZ-Radartechnik und in der Optoelektronik eingesetzt. Die kommerziellen Anwendungen umfassen den Mikrowellen- und Millimeterwellenbereich, d. h. Frequenzen zwischen 1 Ghz und 80 GHz. Für die Radioastronomie werden Frequenzen bis zu 1 THZ und in der Optoelektronik bis zu 300 THz benötigt. Die Strukturen enthalten Metallisierungen mit einer Dicke von 0,1 $\mu$ m - 6 $\mu$ m. Die maximale Größe eines Multi-Chip-Moduls beträgt einige cm². Gerade die dünnen Metallisierungen beeinflussen das Verhalten der Schaltungen wesentlich. Die Aufgabe stellt daher hohe Anforderungen an die räumliche Auflösung.

Grundelemente der Schaltungen sind Wellenleiter und Diskontinuitäten. Das Verhalten der Struktur wird durch eine Streumatrix beschrieben, die aus der orthogonalen Dekomposition des elektrischen Feldes an zwei benachbarten Schnittebenen auf jedem Wellenleiter für eine Anzahl linear unabhängiger Erregungen berechnet wird. Das elektromagnetische Feld wird aus einem dreidimensionalen Randwertproblem für die Integralform der Maxwell'schen Gleichungen
$\begin{align} \oint_{\partial \Omega} \vec H \cdot d\vec s & = \int_{\Omega} j\o... ... \oint_{\cup \Omega} ([\mu] \vec H) \cdot d \vec \Omega & = 0 \notag,\end{align}$
mit den konstitutiven Relationen

$\begin{displaymath} \vec D = [\epsilon] \vec E, \quad \vec B = [\mu] \vec H \end{displaymath}$

ermittelt. Die elektrischen und magnetischen Feldstärken $\vec E$ und $\vec H$ sowie die elektrischen und magnetischen Flussdichten $\vec D$ und $\vec B$ sind komplexe Funktionen der räumlichen Koordinaten. $\omega$ ist die Kreisfrequenz und j² = -1. Die Materialgrößen $[\epsilon]$ und $[\mu]$ (Permittivität und Permeabilität) sind diagonale komplexe Tensoren:

$\begin{displaymath}[\epsilon] = \mbox{diag} \left ( {\epsilon}_x, {\epsilon}_y, ... ... [\mu] = \mbox{diag} \left ( {\mu}_x, {\mu}_y, {\mu}_z \right )\end{displaymath}$

oder komplexe Skalare. Für die numerische Behandlung wird das Berechnungsgebiet durch elektrische und magnetische Wände oder durch so genannte Absorbing-Boundary-Bedingungen (ABC) begrenzt. Als ABC werden Perfectly Matched Layers (PML) verwendet. Diese Schichten bestehen aus künstlichem Material mit komplexen anisotropen Materialeigenschaften. Es wird mit der PML-Formulierung von Sacks ([1]) gearbeitet, weil sie im Gegensatz zu dem älteren Ansatz von Berenger ([2]) die Verwendung der ursprünglichen Maxwell'schen Gleichungen gestattet.

An den Toren ist das transverse elektrische Feld gegeben durch die Superposition der transversalen Wellenleitermoden, die mit Hilfe eines Eigenwertproblems zu berechnen sind, bevor das Randwertproblem gelöst werden kann.

Die Diskretisierung der Maxwell'schen Gleichungen mit Hilfe nichtäquidistanter, versetzter Quadergitter ([3, 4]) ergibt hochdimensionale lineare Gleichungssysteme mit schwach besetzten indefiniten komplexen symmetrischen Koeffizientenmatrizen.

Aufgrund der longitudinalen Homogenität der Wellenleiter wird von einem exponentiellen Ansatz für die longitudinale Richtung ausgegangen. Dieser Ansatz führt auf ein Eigenwertproblem mit schwach besetzter nichtsymmetrischer komplexer Matrix zur Berechnung der Moden ([5]). Die Berechnung aller Eigenwerte zur Berechnung einiger weniger Ausbreitungskonstanten wird vermieden, indem das Arnoldi-Verfahren nacheinander auf die Matrix des Eigenwertproblems und eine modifizierte Matrix angewendet wird (siehe Abb. 1). Das endliche PML-Volumen verursacht auch virtuelle Moden, die nicht das wirkliche Verhalten des Wellenleiters widerspiegeln. Diese unerwünschten so genannten PML-Moden zeichnen sich durch ihre hohe Leistungsdichte in den PM-Schichten aus und werden aufgrund dieser Eigenschaft eliminiert.

Die hochdimensionalen Gleichungssysteme (mehrere Millionen Unbekannte) mit mehreren rechten Seiten werden unter Verwendung von vier verschiedenen auf die Aufgabenstellung zugeschnittenen Vorkonditionierungstechniken (Addition des Gradienten der elektrischen Divergenzgleichung, Independent Set Orderings, Jacobi- und SSOR-Vorkonditionierung) in Zusammenhang mit Krylov-Subspace-Verfahren gelöst. Die Anzahl der rechten Seiten hängt von der Anzahl der Tore in der Struktur und der Anzahl der Moden pro Tor ab. Die ABC-Bedingungen ziehen eine Erhöhung der Anzahl der zu berücksichtigenden Moden nach sich. Durch die Einführung von Block-QMR-Methoden, mit denen die Gleichungssysteme mit mehreren rechten Seiten simultan gelöst werden, wurden die Rechenzeiten reduziert.

Die Ergebnisse der Forschungsarbeiten wurden in den Publikationen [6-11] dargestellt.

**Abb. 1:** Lage der Ausbreitungskonstanten innerhalb eines Kreises und einer Lemniskate.
$\ProjektEPSbildNocap {0.65\textwidth}{bsp3p_2greek.eps}$

Projektliteratur:

Z. S. SACKS, D. M. KINGSLAND, R. LEE, J.-F. LEE, A perfectly matched anisotropic absorber for use as an absorbing boundary condition, IEEE Trans. Antennas and Propagation, 43 (1995), No. 12, pp. 1460-1463,
J.-P. BERENGER, Perfectly matched layer for the absorption of electromagnetic waves, J. Comput. Phys., 114 (1994), pp. 185-200,
K. YEE, Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell's equations in isotropic media, IEEE Trans. Antennas and Propagation, 14 (1966), No. 3, pp. 302-307.
K. BEILENHOFF, W. HEINRICH, H. L. HARTNAGEL, Improved finite-difference formulation in frequency domain for three-dimensional scattering problems, IEEE Trans. Microwave Theory and Techniques, 40 (1992), No. 3, pp. 540-546.
A. CHRIST, H. L. HARTNAGEL, Three-dimensional finite-difference method for the analysis of microwave-device embedding, IEEE Trans. Microwave Theory and Techniques, 35 (1987), No. 8, pp. 688-696.
G. HEBERMEHL, R. SCHLUNDT, H. ZSCHEILE, W. HEINRICH, The eigen mode problem for microwave transmission lines with absorbing boundary conditions, erscheint in: Z. Angew. Math. Mech.
$\dito$ ,Improved numerical methods for the simulation of microwave circuits, Surveys Math. Indust., 9 (1999), No. 2, pp. 117-129.
$\dito$ , The eigen mode problem for microwave transmission lines with absorbing boundary conditions, in: Book of Abstracts, Annual Meeting, Gesellschaft für Angewandte Mathematik und Mechanik, April 12 - 16, 1999 (M. Berveiller, A. Louis, Hrsg.), Walter de Gruyter GmbH, Metz, Frankreich, 1999, pp. 67-68.
$\dito$ , Simulation of microwave integrated circuits and multi-chip modules, in: Book of Abstracts, The Fourth International Congress on Industrial and Applied Mathematics, Edinburgh, Scotland, 5-9 July 1999, Edinburgh Press, 1999, p. 268.
G. HEBERMEHL, F.-K. HÜBNER, R. SCHLUNDT, TH. TISCHLER, H. ZSCHEILE, W. HEINRICH, On the simulation of microwave transmission lines with PML, eingereicht.
$\dito$ , On the computation of eigen modes for lossy microwave transmission lines including Perfectly Matched Layer boundary conditions, WIAS-Preprint No. 543, 1999.