Dynamische Systeme mit komplexer Verhaltensstruktur: Homokline

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Forschungsgruppe Numerische Mathematik und Wissenschaftliches Rechnen

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Steuerung dynamischer Bifurkationen

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Dynamische Systeme mit komplexer Verhaltensstruktur: Homokline Bifurkationen

Bearbeiter: D. Turaev

Kooperation: S. Gonchenko (Institut für Angewandte Mathematik und Kybernetik, Nizhny Novgorod, Russland), L. Lerman (Institut für Mathematik, FU Berlin)

Förderung: DFG-Schwerpunktprogamm ,,Ergodentheorie, Analysis und effiziente Simulation dynamischer Systeme``

Beschreibung der Forschungsarbeit:

Das Studium homokliner Bifurkationen liefert ein einzigartiges Werkzeug für das Verständnis nichtlokaler dynamischer Phänomene. Die Kenntnis der Struktur einer bestimmten (im Allgemeinen endlichen) Menge von ausgezeichneten Trajektorien (zu ihr gehören z. B. periodische Orbits, zu denen eine homokline Trajektorie existiert, und Gleichgewichtspunkte mit einer homoklinen Schleife) gestattet eine umfassende Beschreibung komplexer dynamischer Verhaltensweisen.

Im Berichtszeitraum wurden Untersuchungen zu folgenden Themen durchgeführt.

1. Blue-Sky-Bifurkation. 1995 wurde von D. Turaev und L. Shilnikov ein neuer Bifurkationstyp für periodische Lösungen bewiesen ([1]): In der Menge aller glatten dreidimensionalen Flüsse existiert eine Fläche der Kodimension 1, die aus Bifurkationspunkten (Blue-Sky-Bifurkation)

**Abb. 1:** Blue-Sky-Bifurkation. L ist eine periodische Lösung vom Sattel-Knoten-Typ. Der Durchschnitt der instabilen Mannigfaltigkeit W^u von L mit einem Schnitt S transversal zu L besteht aus abzählbar vielen Kreisen, der Durchschnitt von W^u mit einem Schnitt S₀ parallel zu L ist homotop zu einem Punkt.
$\ProjektEPSbildNocap {0.5\textwidth}{fig2_dt_1.ps}$

besteht und die Eigenschaft besitzt, dass bei Annäherung an diese Fläche die Periode und die Länge einer ausgezeichneten periodischen Lösung unendlich groß werden. Dieses Resultat wurde unter der Voraussetzung bewiesen, dass die Flüsse $C^\infty$ -glatt sind. Es konnte jetzt gezeigt werden, dass dafür C²-Glattheit hinreichend ist ([2]). Diesem Resultat kommt unter dem Gesichtspunkt der Reduktion dynamischer Systeme auf nichtlokale invariante Mannigfaltigkeiten (z. B. inertiale Mannigfaltigkeiten) eine besondere Bedeutung zu, da bei diesem Prozess die Systeme ihre ursprüngliche Glattheit verlieren ([3, 4]).

Eine Erweiterung der Resultate in [1] konnte dadurch erreicht werden, dass gezeigt wurde, dass die in [5] verwendete geometrische Konstruktion in der für Anwendungen wichtigen Klasse der dynamischen Systeme mit schnellen und langsamen Variablen in natürlicher Weise auftritt (bedingt durch das Sprungverhalten zwischen verschiedenen Typen von langsamen Mannigfaltigkeiten).

2. Kodimension-2-Bifurkationen von homoklinen Schleifen. Es ist bekannt, dass unter generischen Bedingungen aus einer homoklinen Schleife eines Sattelpunktes eine periodische Lösung abzweigt. Die Verletzung dieser generischen Bedingungen führt zu Kodimension-2-Bifurkationen. Das bisher offene Problem, ob die bekannte Kodimension-2-Bifurkationsszenarien vollständig sind, wurde gelöst. Es konnte gezeigt werden, dass es außer den bekannten Bifurkationsszenarien

**Abb. 2:** Bifurkationsdiagramm zu einer Verdopplung einer homoklinen Kurve.
$\ProjektEPSbildNocap {0.5\textwidth}{fig2_dt_2.eps}$

keine weiteren geben kann ([5]).

3. Selbstlokalisierte Lösungen von Hamilton-Systemen. In Systemen von gewöhnlichen Differentialgleichungen stellen selbstlokalisierte Lösungen homokline Schleifen dar. Die Bifurkationen von homoklinen Schleifen in Hamilton-Systemen sind weitgehend unerforscht. Bezüglich der Existenz von N-Pulsen in Hamilton-Systemen wurde gezeigt, dass die Verletzung der generischen Bedingungen in [6], wie sie z. B. bei der Orbit-Flip-Bifurkation in Hamilton-Systemen auftritt, zur Existenz von unendlich vielen N-Pulsen führt. Die Menge dieser Lösungen wurde unter Verwendung der Sprache der symbolischen Dynamik vollständig beschrieben, außerdem wurde in diesem Zusammenhang die Rolle spezieller nichthomokliner Lösungen (z. B. periodischer und heterokliner Lösungen) dargestellt. Es wurde gezeigt, dass die Existenz von super-homoklinen Lösungen (sie stellen homokline Orbits zu homoklinen Orbits dar) die Komplexität der Dynamik wesentlich erhöht ([7]).

Für singulär gestörte Hamilton-Systeme wurde das Phänomen von exponentiell kleiner Separatrizen-Aufspaltung untersucht. Die erhaltenen Resultate können zur Beschreibung von Pulslösungen in verschiedenen physikalischen Systemen (z. B. bei flachen Wasserwellen) verwendet werden ([8]).

4. Dynamik in Newhouse-Gebieten. Computersimulationen chaotischer Systeme zeigen stets das Auftreten homokliner Berührungen, d. h. die invarianten Mannigfaltigkeiten von sattelartigen periodischen Lösungen berühren sich. Newhouse zeigte, dass Systeme mit homoklinen Berührungen in gewissen Gebieten des Raumes aller dynamischen Systeme dicht liegen. In [9] wird detailliert dargestellt, dass eine vollständige Beschreibung der Dynamik von Systemen in Newhouse-Gebieten prinzipiell unmöglich ist.

Eine der Haupteigenschaften von homoklinen Berührungen besteht im gleichzeitigen Auftreten periodischer Lösungen mit topologisch unterschiedlichem Verhalten. Dieses Phänomen wird auch für Newhouse-Gebiete in Hamilton-Systemen nachgewiesen ([10, 11, 12]).

Projektliteratur:

D. V. TURAEV, L. P. SHILNIKOV, Blue sky catastrophes, Dokl. Math., 51 (1995), No. 3, pp. 404-407.
$\dito$ , A new stability boundary for periodic orbits, erscheint in: Trans. Amer. Math. Soc.
M. SHASHKOV, D. TURAEV, An existence theorem for a nonlocal invariant manifold near a homoclinic loop, J. Nonlinear Sci., 9 (1999), No. 5, pp. 1-49.
$\dito$ , A C¹-version of a Shilnikov theorem, erscheint in: Trans. Amer. Math. Soc.
L. SHILNIKOV, A. SHILNIKOV, D. TURAEV, L. CHUA, Methods of qualitative theory in nonlinear dynamics. Part II, World Scientific, Singapore, in Druck.
D. V. TURAEV, L. P. SHILNIKOV, On Hamiltonian systems with homoclinic saddle curves, Soviet Math. Dokl., 39 (1989), No. 1, pp. 165-168.
D. V. TURAEV, On multi-pulse self-localized solutions of systems with a smooth first integral, eingereicht.
V. GELFREICH, L. LERMAN, J. SCHEURLE, Exponentially small separatrix splitting in singularly perturbed Hamiltonian systems, in Vorbereitung.
S. V. GONCHENKO, D. V. TURAEV, L. P. SHILNIKOV, Homoclinic tangencies of arbitrarily high orders in the Newhouse regions, erscheint in: Itogi Nauki i Tekhniki: Sovremennye problemy matematiki.
P. DUARTE, S. V. GONCHENKO, D. V. TURAEV, Newhouse regions in the multidimensional Hamiltonian systems, in Vorbereitung.
S. V. GONCHENKO, D. V. TURAEV, L. P. SHILNIKOV, Abundance of elliptic periodic orbits near homoclinic tangencies to a saddle-focus, in Vorbereitung.
V. ROM-KEDAR, D. TURAEV, Big islands in dispersing billiard-like potentials, Physica D, 130 (1999), Nos. 3/4, pp. 187-210.