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Steuerung dynamischer Bifurkationen  

Bearbeiter: N. Berglund, K. R. Schneider  

Beschreibung der Forschungsarbeit:

Wir betrachten das nichtlineare Kontrollsystem

  $$\begin{eqnarray} \frac{dx}{dt} & = & f(x,u,\lambda),\end{eqnarray}$$

das von einem Parametervektor $\lambda$ abhängt, und nehmen an, dass das unkontrollierte System

  $$\begin{eqnarray} \frac{dx}{dt} & = & f(x,0,\lambda) \equiv f_0 (x,\lambda)\end{eqnarray}$$

sein qualitatives Verhalten ändert, falls $\lambda$ den Bifurkationspunkt $\lambda_0$ passiert. Im Unterschied zur traditionellen Bifurkationstheorie nehmen wir an, dass der Parameter $\lambda$ sich langsam mit der Zeit ändert, d. h. das ungestörte System besitzt die Gestalt

  $$\begin{eqnarray} \frac{dx}{dt} & = & f_0 (x,\lambda (\varepsilon t)),\end{eqnarray}$$

wobei $\varepsilon$ ein kleiner positiver Parameter ist. Nach einer Zeittransformation nimmt (3) die Gestalt eines singulär gestörten Systems

  $$\begin{eqnarray} \varepsilon \ \frac{dx}{dt} & = & f_0 (x,\lambda (\tau ))\end{eqnarray}$$

an.

Stellt der Bifurkationspunkt $\lambda_0$ für das System (2) eine Hopf-Bifurkation dar, dann ist bekannt, dass bei der zugehörigen dynamischen Bifurkation ein verzögerter Stabilitätswechsel in (4) auftritt, der mit einem Sprungverhalten der Zustandsvariablen verbunden ist. Wird eine langsame Parameteränderung als Materialalterung interpretiert, dann kann der zu erwartende Sprung im Systemverhalten sehr unerwünschte Konsequenzen haben. Um dramatische Systemveränderungen zu vermeiden, wurde eine Feedbacksteuerung   konstruiert, die den Übergang in den neuen Systemzustand glatter ablaufen lässt und somit kein Sprungverhalten zulässt. Die Konstruktion der Steuerung beruht auf einer Kodimension-4-Entfaltung des singulären Vektorfeldes (y,-x² y-x³). Der kontrollierte Übergangsprozess wird unter Verwendung von asymptotischen Entwicklungen bezüglich des kleinen Parameters $\varepsilon$ abgeschätzt. Einzelheiten können den angegebenen Publikationen entnommen werden.

 

Abb. 1:   Dynamische Hopf-Bifurkationen, linkes Bild: ungesteuert (sprungartiges Verhalten), rechtes Bild: gesteuert (geglätteter Übergang).

Projektliteratur:

1.  N. BERGLUND, K. R. SCHNEIDER, Control of dynamic bifurcations, in: Stability and Stabilization of Nonlinear Systems. Lecture Notes in Control and Inform. Sci., 246 (1999), pp. 75-93.
2.  N. BERGLUND, Control of dynamic Hopf bifurcations, Nonlinearity, 13 (2000), pp. 225-248.

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