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Ann. Statist., 26 (1998), No. 1, pp. 279-287.
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Kooperation: V. Genon-Catalot (Universität Marne-la-Vallé, Frankreich), G. Golubev (Institut für Probleme der Informationsübertragung, Moskau) I. Grama (Stipendiat der Alexander von Humboldt-Stiftung, z. Zt. Gießen), M. Jähnisch (Stipendiat des Graduiertenkollegs ,,Stochastische Prozesse und Probabilistische Analysis``), J. Klemelä (Sonderforschungsbereich 373 ,,Quantifikation und Simulation Ökonomischer Prozesse``/Universität Helsinki)
Förderung: Sonderforschungsbereich 373 ,,Quantifikation und Simulation Ökonomischer Prozesse, Berlin; Graduiertenkolleg ,,Stochastische Prozesse und Probabilistische Analysis``, Berlin
Beschreibung der Forschungsarbeit:
In der asymptotischen Theorie statistischer Experimente geht es um die Approximation allgemeiner Modelle durch einfachere; es entsteht eine Theorie, die Grundlagenprobleme der mathematischen Statistik mit Hilfe abstrakter Konzepte behandelt. Ein zentrales Thema der Forschungsgruppe in den letzten Jahren war in diesem Zusammenhang die asymptotische Äquivalenz nichtparametrischer Experimente zu Gaußschen Folgen im Sinne des Defizienzabstandes. Beim Problem der konstruktiven Realisierung konnte ein wesentlicher Fortschritt erzielt werden, indem es gelang, erstmals für ein nichtparametrisches schlechtgestelltes Problem einen Markov-Kern explizit anzugeben, der die asymptotische Äquivalenz realisiert [1]. Dies betraf den Übergang vom Modell unabhängiger identisch verteilter Beobachtungen auf das Einheitsintervall (,,Dichteschätzung``) zum Modell der Signalerkennung im Gaußschen weißen Rauschen. Ein verwandtes Resultat betrifft den Übergang vom Modell einer stationären Gaußschen Folge mit glatter Spektraldichte zum Modell der Signalerkennung [2], da hierbei einzelne Funktionale der Daten (z. B. empirische Korrelationskoeffizienten) aufgrund eines lokalen Grenzwertsatzes bereits asymptotische normale Dichten haben, hierbei kam eine Variante eines lokalen Grenzwertsatzes mit wachsender Dimension zur Anwendung.
Im Gegensatz dazu gelingt es bei der Beweismethodik über coupling von Likelihood-Prozessen mittels funktioneller Ungarischer Konstruktion (KMT-Ungleichung) im allgemeinen nicht, den Markov-Kern in sinnvoller Weise explizit anzugeben. Jedoch führt zur Zeit noch allein dieser nichtkonstruktive Ansatz zu optimalen Resultaten in Bezug auf den Parameterraum (Glattheitsgrenze 1/2, vgl. Brown, Zhang [3]). Das in [4] bewiesene Resultat über die Gaußsche Approximation eines nichtparametrischen Regressionsmodells, das aus einer parametrischen Verteilungsfamilie durch zeitliche Variation des Parameters entsteht, basiert auf der nichtkonstruktiven Likelihood-Methodik. Eine Verallgemeinerung auf ein in Zeit und Verteilung nichtparametrisches Regressionsmodell ist der Inhalt der nunmehr eingereichten Dissertationsschrift [5].
Die Resultate von [4] für ein Regressionsmodell aus unabhängigen Beobachtungen fanden eine überraschende Anwendung, indem ein Modell diskreter Beobachtungen eines Markovschen Diffusionsprozesses mit kleinem Rauschen [6] im Sinne statistischer Äquivalenz hierauf zurückgeführt werden konnte. Dieses Ergebnis knüpft an ein früher erzieltes Resultat zur Diskretisierung von Diffusionsmodellen an (siehe [7]).
Projektliteratur:
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Ann. Statist., 26 (1998), No. 1, pp. 279-287.
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