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Zur Asymptotik von Paardiffusionsmodellen

  Bearbeiter: R. Hünlich , A. Glitzky , W. Röpke  

Kooperation: N. Strecker (Eidgenössische Technische Hochschule Zürich), W. Merz, K. Pulverer (Technische Universität München)

Förderung: DFG: ,,Analytische Untersuchungen von Elektro-Reaktions-Diffusionsgleichungen mit nichtglatten Daten``, BMBF

Beschreibung der Forschungsarbeit: Die bei der Simulation von Halbleitertechnologien   vorrangig benutzten Diffusionsmodelle reichen bei modernen Bauelementen nicht mehr aus, um alle Transportphänomene adäquat zu beschreiben. Von Bedeutung sind Untersuchungen zu neuartigen Materialien (siehe z.B. [10]) sowie die Diskussion verschiedener Varianten von Paardiffusionsmodellen   (siehe [1, 6, 11]), die die Kinetik von Eigenpunktdefekten   und von Fremdatom-Defekt-Paaren in verschiedenen Ladungszuständen genauer modellieren sollen. Gleichungen zu Paardiffusionsmodellen reduzieren sich unter der Annahme, daß alle Ionisierungsreaktionen   sowie die Kinetik der Elektronen und Löcher sehr schnell sind, auf einen aus Sicht der Simulation erträglichen Umfang. Erste Aussagen zur Analysis und Numerik dieser Modellklasse findet man in [8, 9]. In [5, 7] haben wir weiterführende Ergebnisse erzielt, die im folgenden zusammengestellt werden sollen.

 

Abb. 1: Reaktionen im Paardiffusionsmodell

Die Modellgleichungen bestehen aus allgemein m (im Fall, daß nur ein Dotand A vorliegt, fünf) Kontinuitätsgleichungen   für die Konzentrationen u_i der Spezies i (nämlich $A,\,I,\,V,\,AI,\,AV$; siehe Abb. 1), die mit einer nichtlinearen Poissongleichung   zur Bestimmung des chemischen Potentials der Elektronen $\psi$ gekoppelt sind:

$$\left. \begin{gathered} \frac{\partial u_i}{\partial t}+\nab... ...)=0\text{ auf } {\IR}_+\times\Gamma.\end{gathered}\quad\right\}$$ (3)

Die Stromdichten   j_i sind durch

$$j_i=-D_i(\psi)\big(\nabla u_i+Q_i(\psi)u_i\nabla\psi\big)= -D_i(\psi)\,u_i\,\nabla\ln\,a_i$$

gegeben, mit R_i bezeichnen wir die Raten der einzelnen Paarbildungs- bzw. Generations-Rekombinations-Reaktionen:      

$$R_i=(\alpha_i-\beta_i)\sum_{(\alpha,\beta)}R_{\alpha\beta},~... ...\prod_{i=1}^m a_i^{\alpha_i}- \prod_{i=1}^m a_i^{\beta_i}\Big),$$

$$a_i={u_i}/{p_i(\psi)},~ p_i(\psi)=p_i(0)\,e^{-P_i(\psi)},~ P_i(\psi)=\int_0^\psi Q_i(s)\,\text ds.$$

Die Ladungszahlen Q_i und die kinetischen Koeffizienten $D_i,\, k_{\alpha\beta}$ hängen von $\psi$ ab, $e(\psi)$ ist durch den Statistikansatz für die Elektronen gegeben, ferner sei $g(\psi)=e(\psi)\psi-\int_0^\psi e(s)\,\text ds$.

Modelle, bei denen die Ladungszahlen Q_i (und Diffusionskoeffizienten D_i) nicht von $\psi$ abhängen, haben wir früher behandelt (siehe [2, 3, 4]). Das Auftreten dieser zusätzlichen Abhängigkeiten macht die Aufgabe wesentlich komplizierter, hinzu kommt, daß man (im Unterschied zu [9]) für einige Spezies (den Dotanden A) D_i=0 anzunehmen hat.

Ausgangspunkt unserer Untersuchungen sind energetische Abschätzungen (in zwei Raumdimensionen),   die einerseits zeigen, daß die Modellgleichungen aus thermodynamischer Sicht korrekt formuliert sind, die andererseits die Grundlage für weitere a priori-Abschätzungen   und damit verbundene Existenzaussagen bilden sollten, mit denen wir uns zukünftig befassen werden.

Es bezeichne $J\subset\{1,\dots,m\}$ die Teilmenge der diffundierenden Spezies (der Punktdefekte und Paare $I,\,V,\,AI,\,AV$). Wir definieren ein Energiefunktional  

$$F(u)= \int_\Omega\Big\{\frac{\varepsilon}{2}\vert\nabla\psi\... ...Big[\ln\frac{u_i}{p_i(0)}-1\Big]+p_i(0)\Big\} \Big\}\,\text dx,$$

wobei $\psi$ Lösung der Poissongleichung ist, sowie ein Dissipationsfunktional  

$$D(u)= \displaystyle\int_\Omega\Big\{ \displaystyle\sum_{i\in... ...rod_{i=1}^m \sqrt{a_i}^{\,\beta_i}\Big\vert^2 \Big\}\,\text dx.$$

Wir haben nachgewiesen, daß für jede schwache Lösung von (1) die Relation

$$\text e^{\lambda t_2}F(u(t_2))-\text e^{\lambda t_1}F(u(t_1)... ...))-D(u(t))\big\}\,\text dt,~ t_2\ge t_1\ge 0,~\lambda\in{\IR}_+$$

gilt. Aus dieser Abschätzung folgt, daß die Energie längs Trajektorien der Aufgabe (1) beschränkt bleibt und monoton fällt. Weiterhin gibt es zu jedem R>0 ein c_R>0, so daß

$${ F(u)-F(u^*)\le c_R\,D(u)\quad\forall u\in M_R},$$

wobei

$$M_R=\Big\{u\colon F(u)-F(u^*)\le R,\, \int_{\Omega} (u-U)\,\text dx\in\text{span}\{\alpha-\beta\}\Big\}$$

und u^* der durch $\int_{\Omega} (u^*-U)\,\text dx\in\text{span}\{\alpha-\beta\}$eindeutig bestimmte stationäre Zustand   von (1) ist. Zusammen mit dem ersten Ergebnis folgt hieraus, daß die Energie entlang von schwachen Lösungen des Systems (1) für $t\to +\infty$ exponentiell gegen ihren Gleichgewichtswert   strebt.

Abschließend sei erwähnt, daß wir analog zu dem Vorgehen in [2] auch für Zeitdiskretisierungen   von (1) energetische Abschätzungen   erhalten haben, die Aussagen über die Stabilität des Näherungsverfahrens nach sich ziehen.  

Projektliteratur:

1.  S. T. DUNHAM, A quantitative model for the coupled diffusion of phosphorus and point defects in silicon, J. Electrochem. Soc., 139 (1992), pp. 2628-2636.
2.  A. GLITZKY, R. HÜNLICH, Energetic estimates and asymptotics for electro-reaction-diffusion systems, Z. Angew. Math. Mech., 77 (1997), pp. 823-832.
3.  , Global estimates and asymptotics for electro-reaction-diffusion systems in heterostructures, Appl. Anal., 66 (1997), pp. 205-226.
4.  , Electro-reaction-diffusion systems including cluster reactions of higher order, erscheint in: Math. Nachr.
5.  , Energy estimates for electro-reaction-diffusion systems with partly fast kinetics, in Vorbereitung.
6.  A. HÖFLER, Development and application of a model hierarchy for silicon process simulation, Series in Microelectronics, vol. 69, Hartung-Gorre, Konstanz, 1997.
7.  R. HÜNLICH, A. GLITZKY, On energy estimates for electro-diffusion equations arising in semiconductor technology, erscheint in: Proceedings PDE Prague'98.
8.  J. LANG, W. MERZ, Numerical simulation of single species dopant diffusion in silicon under extrinsic conditions, Preprint SC 97-47, Konrad-Zuse-Zentrum für Informationstechnik Berlin, 1997.
9.  W. MERZ, Analysis und numerische Berechnung der Diffusion von Fremdatomen in homogenen Strukturen, Habilitationsschrift, Technische Universität München, 1998.
10.  H. RÜCKER, B. HEINEMANN, W. RÖPKE, R. KURPS, D. KRÜGER, G. LIPPERT, H. J. OSTEN, Suppressed diffusion of boron and carbon in carbon-rich silicon, Appl. Physics Lett., 73 (1998), pp. 1682-1684.
11.  N. STRECKER, ISE TCAD manuals. Release 4.0. Part 8: DIOS-ISE, Integrated Systems Engineering AG, Zurich, 1997.

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