Elektronentransport in ungeordneten Materialien

Bearbeiter: A. Liemant  

Kooperation: L. Brehmer (Universität Potsdam)

Beschreibung der Forschungsarbeit: In Zusammenarbeit mit L. Brehmer von der Universität Potsdam wurden die Untersuchungen zum Hoppingtransport von Ladungsträgern in ungeordneten Materialien weiter betrieben. Die Ladungsträger springen auf einem ungeordneten Gitter von räumlich und energetisch lokalisierten Zuständen $({\mbox{\boldmath$x$}},E)$ gemäß einer Hoppingrate

$$w({\mbox{\boldmath$x$}},E;{\mbox{\boldmath$y$}},Q)= r(\vert{... ...}}}'\vert)\; s({\mbox{\boldmath$x$}},E;{\mbox{\boldmath$y$}},Q)$$

unter Berücksichtigung des Pauliprinzips. ${\mbox{\boldmath$x$}}' ({\mbox{\boldmath$x$}} )$ bezeichnet die mikroskopische (makroskopische) 3-dimensionale Ortskoordinate mit ${\mbox{\boldmath$x$}}=\epsilon{\mbox{\boldmath$x$}} '$.Der Ansatz für die Hoppingrate ist recht allgemein. Es wird lediglich gefordert, daß die Sprungweiten hinreichend klein sind (endliches zweites Moment)

$$S'_2:=\int_{R^3}\,\vert{{\mbox{\boldmath$x$}}'}\vert^2 r(\vert{{\mbox{\boldmath $x$}}'}\vert)\,d^{\,3}{x'} < +\infty$$

und die Hoppingrate s einer detaillierten Gleichgewichtsbedingung

$$\exp\Bigl[-\frac{E+e\psi({\mbox{\boldmath $x$}})}{kT}\Bigr]... ...}\Bigr]\,s({\mbox{\boldmath $y$}} ,Q;{\mbox{\boldmath $x$}},E)$$

genügt. Eine strenge mathematische Theorie zur Behandlung einer solchen komplexen mikroskopischen Transportdynamik existiert gegenwärtig nicht. Wir vereinfachen, indem wir die Dynamik mittels einer (mean field) Hoppingratengleichung für die 1-Partikel Verteilungsfunktion beschreiben. Dies ermöglicht es zum einen, auf einer makroskopischen Raumskala zusätzlich Inhomogenitäten für die Materialcharakteristiken (dies sind die räumliche und energetische Zustandsdichte N und g(E) und die Hoppingrate w) zu berücksichtigen. Zum anderen ist es möglich, eine makroskopische Drift-Diffusionsgleichung für die Ladungsdichte $\varrho_t({\mbox{\boldmath $x$}})$ zu gewinnen,
$$\begin{align*} \frac{\partial \varrho_t({\mbox{\boldmath$x$}})}{\partial t} =& \... ...mbox{\boldmath$x$}}))\,\nabla \psi({\mbox{\boldmath$x$}}) \right], \end{align*}$$
wobei $h_t({\mbox{\boldmath$x$}})=\varrho_t({\mbox{\boldmath $x$}})/e\,N({\mbox{\boldmath$x$}})$ die relative Ladungsdichte bezeichnet.
Die Gradienten der räumlichen Zustandsdichte N, des Parameters $\Theta$ der Energiezustandsdichte $g_\Theta (E)$ und einer Potentialfunktion $\psi$ verursachen Driftströme. Der Diffusionskoeffizient D und die Leitfähigkeiten $\sigma^{N}, \sigma^\Theta$ und $\sigma^{\psi}$hängen explizit von den räumlich inhomogenen Materialcharakteristiken ab, wobei D und $\sigma^{\psi}$ einer verallgemeinerten Einsteinrelation genügen. Die zentrale Größe ist die elektrische Leitfähigkeit

$$\sigma^{\psi}({\mbox{\boldmath$x$}},h)= \frac{ S'_2\,e^2\,( ... ... $x$}},h))/kT])(1+\exp[(\zeta{(\mbox{\boldmath$x$}},h)-Q)/kT])}$$

(e Elementarladung, k Boltzmannkonstante, T absolute Temperatur, $\zeta$ chemisches Potential).

Projektliteratur:

1. A. LIEMANT, A drift-diffusion equation for charge transport in inhomogeneous materials, WIAS-Preprint No. 384 (1997).