Phasentrennung und kristalline Gleichgewichtsformen

Bearbeiter: D. Ioffe  

Kooperation: J.-D. Deuschel (TU Berlin), G. Giacomin (Universität Zürich), O. Hryniv (z. Zt. WIAS), Ch.-E. Pfister (EPF Lausanne), R. S. Schonmann (UCLA, Los Angeles)

Beschreibung der Forschungsarbeit: Die sogenannte Wulff-Konstruktion liefert eine phänomenologische Beschreibung der Gleichgewichtsformen von Kristallen als diejenige mit der geringsten Oberflächenenergie zwischen dem Kristall und dem ihn umgebenden Dampf. Die entsprechende mathematische Problemstellung ist eine Verallgemeinerung des klassischen isoperimetrischen Problems. Schon auf dieser makroskopischen Ebene ist die zugrundeliegende Theorie bei weitem nicht trivial [2]. Eine weitaus schwierigere Herausforderung ist es, eine umfassende rein statistisch mechanische Theorie zu entwickeln, die den ,,Wulff-shape`` direkt aus der Struktur der mikroskopischen Wechselwirkungen zwischen den Molekülen heraus bestimmt. Viele Jahre lang wurde dieses Problem als äußerst kompliziert angesehen und konnte selbst im Kontext der einfachsten zweidimensionalen Modelle der statistischen Mechanik, wie z. B. eines Ising-Modells oder einer Bernoulli-Perkolation, nicht gelöst werden. Ein Durchbruch kam Ende der 80er Jahre mit dem wegweisenden Buch [4], in dem das Problem für Ising-Kristalle mit ebener Oberfläche bei sehr niedrigen Temperaturen rigoros gelöst wurde. Die Hauptprobleme, mit denen sich die Dobrushin-Kotecký-Shlosman-Theorie (DKS) auseinandersetzte, waren die Statistik fluktuierender Phasengrenzen und Grenzeigenschaften reiner Phasen. Auf ihrem Weg zur Lösung der Probleme stützten sich die Autoren von [4] in besonderem Maße sowohl auf perturbative Techniken, die durch die Annahme einer tiefen Temperatur ermöglicht wurden, als auch auf die spezifische Geometrie zweidimensionaler zufälliger Felder.

Das Hauptziel des vorliegenden Projektes ist die Entwicklung einer Theorie, die über diese Beschränkungen hinausgeht. In [7] wurde erstmalig ein umfassendes Gegenstück zur DKS-Theorie für ebene Ising-Ferromagneten im Sinne von DKS für unterkritische Temperaturen entwickelt. Ein nicht-perturbativer Ansatz zum Studium der fluktuierenden Phasengrenzen wird in [6] geliefert und soll in [5] substantiell für den Kontext selbstvermeidender Irrfahrten und Vielecke vertieft werden. Höherdimensionale Probleme der Phasentrennung und der Tröpfchenkondensation betrachteten wir zuerst in [1] und danach in [3], wo makroskopische kristalline Gleichgewichtsformen des Typs für eine Klasse von SOS (,,solid-on-solid``) Modellen mit konvexen Interaktionspotentialen beschrieben werden sollen.

Projektliteratur:

1. E. BOLTHAUSEN, D. IOFFE, Harmonic crystall on the wall: A microscopic approach, Comm. Math. Phys., 187 (1997), pp. 323-566.
2. J. E. BROTHERS, F. MORGAN, The isoperimetric theorem for generalized integrands, Michigan Math. J., 41 (1994), pp. 419-431.
3. J.-D. DEUSCHEL, G. GIACOMIN, D. IOFFE, Multidimensional sample path LD principle and related non-Gaussian droplet construction, in Vorbereitung.
4. R. L. DOBRUSHIN, R. KOTECKý, S. Shlosman, Wulff Construction: a Global Shape from Local Interactions, AMS translation ser., Vol. 104 (1992).
5. O. HRYNIV, D. IOFFE, On the number of self-avoiding polygons, in Vorbereitung.
6. D. IOFFE, CH.-E. PFISTER, Ornstein-Zernike behaviour and analyticity of shapes for self-avoiding walks on $\IZ^d$, in Vorbereitung.
7. D. IOFFE, R. S. SCHONMANN, Dobrushin-Kotecký-Shlosman theorem up to the critical temperature I,WIAS-Preprint No. 355 (1997) , eingereicht bei: Comm. Math. Phys.