Spin-Gläser und Neuronale Netze

Bearbeiter: A. Bovier  

Kooperation: V. Gayrard (CNRS, Marseille)

Förderung: EU

Beschreibung der Forschungsarbeit: Eine ausführliche Darstellung der Fragestellungen, denen wir uns in diesem Projekt widmen, wurde im Jahresbericht 1994 gegeben. Ein umfangreicher Übersichtsartikel ist soeben erschienen [1], eine elementarere Zusammenfassung ist in [2] zu finden.

In der Untersuchung des Standard-Hopfield-Modells wurde in diesem Jahr ein vorläufiger Abschluß erreicht. Insbesondere wurde im sogenannten ,,Replika-symmetrischen`` Bereich der Parameter $\alpha$ und $\beta$ein einfacher, auf Konvexitätseigenschaften beruhender Beweis der mit Hilfe des heuristischen ,,Replika-Tricks`` erhaltenen Resultate gegeben. Darüber hinaus konnten die Gibbs Maße explizit im Sinne des von Newman entwickelten ,,Metastate``-Formalismus [2] konstruiert werden [3]. Dabei zeigt sich bereits eine äußerst komplizierte asymptotische Volumenabhängigkeit der Gibbs Maße: gesteuert von einem stochastischen Prozeß mit Werten in $\IR^\IN$ durchläuft es den gesamten Raum der Produktmaße auf $\{-1,1\}^\IN$. Aufgrund heuristischer Resultate erwartet man für größere Werte von $\alpha$ein noch komplizierteres Verhalten, indem auch komplexe Mischungen von Produktmaßen relevant werden. Ein rigoroses Verständnis dieser Phänomene scheint derzeit noch nicht erreichbar zu sein.

Projektliteratur:

1.   A. BOVIER, V. GAYRARD, Hopfield models as generalized random mean-field models, in: ,,Mathematical aspects of spin glasses and neural networks``(A. Bovier, P. Picco, eds.), Progr. Probab., 41, pp. 3-91, Birkhäuser, Boston-Basel-Berlin, 1997.
2.   A. BOVIER, V. GAYRARD, Statistical mechanics of neural networks: The Hopfield model and the Kac-Hopfield model, Markov Proc. Related Fields, 3 (1997), pp. 393-423.
3.   C. M. NEWMAN, D. L. STEIN, Thermodynamic chaos and the structure for short-range spin glasses, in: ,,Mathematical Aspects of spin glasses and neural networks``(A. Bovier, P. Picco, eds.), Progr. Probab., 41, pp. 187-243, Birkhäuser, Boston-Basel-Berlin, 1997.
4.   A. BOVIER, V. GAYRARD, Metastates in the Hopfield model in the replica symmetric regime, WIAS-Preprint No. 341 (1997), erscheint in: Math. Phys., Anal., Geom. (1998).