Kooperation: M. Zahradník (Fakultät für Mathematik, Karls-Universität Prag), P. Picco, V. Gayrard (CNRS, Marseille)
Förderung: EU, DFG: ,,Untersuchung von Tieftemperaturphasen ungeordneter Modelle mit langreichweitiger Wechselwirkung``
Beschreibung der Forschungsarbeit: Kac-Modelle sind Systeme mit Wechselwirkungen von endlicher, aber sehr weiter Reichweite. Sie stellen ein Bindeglied zwischen Molekularfeld-Theorien und realistischeren Modellen mit kurzreichweitiger Wechselwirkung dar. Ursprünglich wurden diese Modelle in den 60er Jahren eingeführt, um eine mikroskopische Herleitung der ,,Maxwell-Konstruktion``, mit der die nicht-eindeutigen Zustandsgleichungen in der van-der-Waals-Theorie ad hoc beseitigt wurden, zu geben. Ein weitaus interessanterer Aspekt dieser Modelle wurde jedoch erst in den letzten Jahren intensiv untersucht: die rigorose Herleitung von Kontinuums-Theorien (Ginzburg-Landau-Theorie, Phasenfeldmodelle), wie sie im Rahmen der mesoskopischen Modellierung Verwendung finden, mittels Techniken aus der Theorie der großen Abweichungen. Aus diesem Grunde wollen wir die Untersuchung von Kac-artigen Modellen zu einem zentralen Thema unserer Arbeit machen. Dabei ist die Untersuchung von ungeordneten Systemen mit Kac-Wechselwirkung (Spin-Gläser, Hopfield-Modelle, Random-Field-Modelle) das wesentliche Ziel unserer Forschung.
Zu diesem Thema wurde in [1,2] ein erstes Resultat in einem eindimensionalen Modell, dem Kac-Hopfield-Modell erzielt. Die hier verwandten Methoden sind jedoch nicht auf den Fall höherer Dimensionen übertragbar, und die sich stellenden Probleme sind ungleich schwieriger. Zu ihrer Behandlung sind zunächst geeignete Methoden zur Untersuchung der Tieftemperaturphasen von Spin-Systemen mit langreichweitiger Wechselwirkung zu entwickeln. In einem ersten Schritt wurde hierzu in [3] eine Version des Peierls-Arguments entwickelt, die es erlaubt, in Modellen mit exakter Spin-Flip-Symmetrie die Existenz eines Phasenüberganges in zwei und mehr Dimensionen sowie scharfe Abschätzungen an die kritische Temperatur zu beweisen. Zur Behandlung nicht-symmetrischer Modelle, wozu insbesondere Modelle mit Unordnung zählen, genügen Peierls-Argumente jedoch nicht, sondern es ist hier vonnöten, konvergente Cluster-Entwicklungen zur Verfügung zu haben. In dieser Richtung wurde im vergangenen Jahr intensiv mit M. Zahradník gearbeitet. In der ersten Phase, die kurz vor dem Abschluß steht, soll hier eine allgemeine Version der Pirogov-Sinai Theorie entwickelt werden, die für Modelle mit schwacher, aber langreichweitiger Wechselwirkung anwendbar ist. Die wesentliche Idee hierbei ist eine gleichzeitige Verwendung von Hoch- und Tieftemperaturentwicklungen.
Unabhängig von diesem Programm wurde in [4] die Hochtemperaturphase eines Spin-Glas-Modells vom Kac-Typ untersucht. Hier ging es darum zu verstehen, inwieweit die Molekularfeldmodelle auch in echten Spin-Gläsern die Asymptotik langreichweitiger Gitter-Modelle wiedergeben. Für Temperaturen oberhalb der kritischen Temperatur konnte dies in dem Sinne bestätigt werden, daß die freie Energie sowie deren Fluktuationen gegen diejenigen des Molekularfeldmodelles konvergieren. Die Beweise verwenden Methoden der stochastischen Analysis.
Projektliteratur: