Numerische Verfahren für singulär gestörte Eigenwertaufgaben bei Sturm-Liouville-Problemen

Bearbeiter: M. Hanke  

Kooperation: N. B. Konyukhova (Russische Akademie der Wissenschaften, Moskau),
[4] T. Zhanlov (Mongolische Nationaluniversität, Ulan Bator)

Beschreibung der Forschungsarbeit:

Ziel des Projektes ist die Entwicklung und Analyse numerischer Methoden zur Lösung von singulär gestörten Eigenwertaufgaben für Sturm-Liouville-Probleme mit unstetigen Potentialen, wie sie bei eindimensionalen Halbleitermodellen als Schrödingergleichung auftreten. Schwerpunktmäßig wurden drei Fragen untersucht:

F1.

Durch welche Methoden können die aus der singulären Störung resultierenden Probleme abgefangen werden?

F2.

Wie können stückweise stetige Potentiale geeignet in Algorithmen integriert werden?

F3.

Wie kann unter Verwendung asymptotischer Techniken der numerische Aufwand reduziert werden?

Mit Frau Konyukhova wurde die Methode der Phasenfunktionen untersucht. Diese Methode liefert hochgenaue Resultate, ist aber auf den mehrdimensionalen Fall nicht erweiterbar. Im Rahmen des Gesamtprojektes ,,Schrödinger-Poisson-Systeme`` dient diese Methode als ,,Maßstab`` für die im weiteren zu entwickelnden Methoden.

Zu den genannten Fragestellungen wurden folgende Resultate erhalten:

Zu F1)

Es wurden geeignete Skalierungstechniken theoretisch und experimentell untersucht. Während in der Literatur durchgehend zumindest stetige Skalierungen begründet sind, haben wir - auch im Hinblick auf den zweiten Problemkreis - unstetige Skalierungen begründet und erfolgreich verwendet. Gegenüber früheren Ansätzen konnte dadurch die Schießgleichung soweit ,,geglättet`` werden, daß überlinear konvergente Verfahren zu ihrer Lösung eingesetzt werden können.

Zu F2)

Es wurden geeignete Transformationen entwickelt, die an den Unstetigkeitsstellen von Potential bzw. Skalierung eine glatte ,,Fortsetzung`` des Verfahrens ermöglichen.

Zu F3)

Durch den Charakter der singulären Störung kann das eigentlich endliche Intervall als rechtsseitig unbeschränkt betrachtet werden. Unter Verwendung asymptotischer Techniken kann die Randbedingung aus ,,unendlich`` auf einen endlichen Wert näherungsweise übertragen werden. Untersucht wurde, wie klein das resultierende Intervall gemacht werden kann, um vorgegebene Genauigkeiten einzuhalten. Analytische Fehlerabschätzungen für die Eigenwerte, Eigenfunktionen und Funktionale der Eigenfunktionen sind nicht bekannt.