Bearbeiter: J. Schmeling
Kooperation: B. Hasselblatt (Tufts University, Boston)
Beschreibung der Forschungsarbeit:
Eine wichtige Frage in der Theorie dynamischer Systeme ist die Untersuchung invarianter Blätterungen. Obwohl die Existenz gewisser invarianter Blätterungen unter relativ schwachen Hyperbolizitätsbedingungen gewährleistet ist, kann deren Regularität (Glattheit) nicht durch eine Verschärfung der Hyperbolizitätsbedingungen erzielt werden. Den beiden Bearbeitern des Projektes ist es unabhängig voneinander gelungen, eine scharfe Abschätzung des Hölderexponenten der Blätterungen anzugeben und nachzuweisen, daß für eine ,,typische`` Abbildung dieser Exponent erreicht wird. Eine natürliche weitergehende Frage ist die nach der Größe der Menge derjeniger Punkte, in denen kein besserer Hölderexponent möglich ist. Obwohl B. Hasselblatt und A. Wilkinson gezeigt haben, daß diese Menge für Anosov-Systeme groß im Sinne des Lebesgue-Maßes ist, ist es uns gelungen, für Axiom A-Systeme ein Kriterium anzugeben, bei dessen Erfüllung die Hausdorff-Dimension kleiner als die Dimension der gesamten invarianten Menge ist. Dieses Kriterium wird natürlich nicht von Anosov-Systemen erfüllt. Genauer haben wir eine Formel der Hausdorff-Dimension der Menge der Punkte gefunden, die einen vorgegebenen Hölderexponenten für die Blätterung annehmen. Diese Formel ermöglicht es, verschiedene Fragestellungen aus der Theorie der dynamischen Systeme über die Größe gewisser Mengen zu beantworten.
Projektliteratur: