Geometrie von Basismengen

Bearbeiter: H. G. Bothe 

Beschreibung der Forschungsarbeit:

Seit der grundlegenden Arbeit [3] von S. Smale spielen Basismengen in der geometrischen Theorie der hyperbolischen dynamischen Systeme eine wichtige Rolle. Obwohl mit Hilfe der Markov-Zerlegungen leicht zu zeigen ist, daß es nur abzählbar viele topologische Typen von Basismengen gibt, ist mit Ausnahme der expandierenden Attraktoren [4], [2] ihre geometrische Beschreibung bisher nicht gelungen. Insbesondere ist das von Smale formulierte Problem ungelöst, ob jeder hyperbolische Attraktor bis auf topologische Äquivalenz lokal das kartesische Produkt einer Cantormenge mit einer Zelle ist.

In dem Projekt werden frühere Untersuchungen [1] zu expandierenden Basismengen wieder aufgenommen. Diese Basismengen sind dadurch ausgezeichnet, daß sie die stabilen Mannigfaltigkeiten ihrer Punkte in Cantormengen schneiden. Die lokale Struktur ist dann durch ihre Schnitte mit den unstabilen Mannigfaltigkeiten bestimmt. Es gelang, diese Schnitte als Limesmengen von Folgen bestimmter Graphen zu erfassen und damit einer geometrischen Beschreibung zugänglich zu machen.

Projektliteratur:

1.   H. G. Bothe, An example of a strange basic set, Preprint P-MATH-23/87 des Karl-Weierstraß-Instituts der Akademie der Wissenschaften der DDR.
2.   H. G. Bothe, Expanding attractors with stable foliations of class , Ergodic Theory Related Topics, Proceedings, Güstrow 1990, pp. 36--61; Lecture Notes in Mathematics 1514 (1992), pp. 747--817.
3.   S. Smale, Differentiable dynamical systems, Bull. Amer. Math. Soc., 73 (1967), pp. 747--817.
4.   R. F. Williams, Expanding attractors, Publ. math. IHES, 43 (1974), pp. 169--203.