Bearbeiter: M. Neumann, V. Spokoiny
Kooperation: W. Härdle, O. Lepski, S. Sperlich (Humboldt-Universität zu Berlin), A. Youditsky (INRIA, Rennes, Frankreich), A. Nemirovski (Technion, Haifa, Israel), R. Liptser (Universität Tel-Aviv, Israel), R. Dahlhaus (Universität Heidelberg), J.-P. Kreiß (Universität Braunschweig)
Förderung: SFB 373 ,,Quantifikation und Simulation ökonomischer Prozesse``, Humboldt-Universität zu Berlin
Beschreibung der Forschungsarbeit:
Ein Schwerpunkt der Arbeit war die Entwicklung und Begründung von Bootstrap-Methoden für Probleme aus der nichtparametrischen Zeitreihenanalyse. Das Bootstrap ist eine Methode zur Schätzung von Verteilungen und daraus abgeleiteter Parameter. Klassische Anwendungsfelder sind die Bestimmung von Konfidenzintervallen und -bändern sowie die Bestimmung von kritischen Werten von Tests. Im Gegensatz zu parametrischen statistischen Problemen erlauben einige Problemstellungen in der nichtparametrischen Statistik eine asymptotische Vernachlässigung der Abhängigkeitsstruktur. In der Arbeit [3] wurde eine starke Approximation eines lokal polynomialen Schätzers in einem nichtparametrischen autoregressiven Modell durch einen Schätzer derselben Art in einem entsprechenden Regressionsmodell hergeleitet. Der Beweis basierte auf Skorokhod-Einbettungen der zu dyadischen Intervallen gehörenden Partialsummenprozesse in Wiener-Prozesse. Dieses Ergebnis, welches gleichzeitig eine Charakterisierung der asymptotischen Äquivalenz zwischen diesen Modellen liefert, erlaubte die Anwendung des ,,Wild bootstrap``-Verfahrens in diesem Kontext. Als eine Anwendung wurden simultane Konfidenzbänder für die Autoregressionsfunktion konstruiert.
Während die asymptotische Vernachlässigbarkeit der Abhängigkeit in erster Linie auf strukturellen Merkmalen des datengenerierenden Prozesses, nämlich der Martingalstruktur der Innovationen, beruhte, wurde in [4] eine wesentliche Verallgemeinerung auf allgemeine schwach abhängige Prozesse für den Fall der Dichteschätzung erreicht. Hier wurden sowohl schwach abhängige Beobachtungen mit einer stationären Dichte als auch unabhängige Beobachtungen mit derselben Dichte in einen gemeinsamen Poissonprozeß eingebettet. Als Resultat wurde eine Approximation eines Kernschätzers der stationären Dichte durch einen entsprechenden Schätzer im i.i.d.-Modell gewonnen. Dies bildete den Ausgangspunkt für die Entwicklung von Bootstrap-Methoden zur Konstruktion von Konfidenzbändern und nichtparametrischen Tests.
Im Berichtszeitraum wurden außerdem Projekte zu Waveletmethoden in der Zeitreihenanalyse fortgeführt. Ergänzend zu früheren Arbeiten (s. [1]) wurde der Vergleich zwischen multivariaten Standard-Waveletbasen und anisotropen Basen in [2] vertieft.
In der angewandten Datenanalyse werden häufig Modellannahmen gemacht und anschließend die relevanten Parameter geschätzt. In der angewandten ökonometrischen Literatur dominieren sogenannte Probit- und logistische Regressionsmodelle. Dabei wird die grundlegende Annahme gemacht, daß die Link- und Indexfunktionen eine bekannte Form haben. Eine wichtige Aufgabenstellung in der Statistik ist die Überprüfung solcher Modellannahmen.
Nichtparametrische oder semiparametrische Methoden bieten weit mehr Flexibilität als parametrische Ansätze. Zum Beispiel wird nicht vorausgesetzt, daß die Linkfunktion bekannt ist. Andererseits sind aber parametrische Modelle häufig nützlicher für eine weitere Datenanalyse. Daher werden Methoden benötigt, um parametrische gegen nicht- oder semiparametrische Modelle zu testen.
Die Anwendung bereits existierender Ergebnisse trifft in der Praxis auf das Problem, daß die vorgeschlagenen Tests Informationen über Glattheitseigenschaften der Modellfunktion benötigen, die normalerweise unbekannt sind. Diese Schwierigkeit motiviert die Entwicklung adaptiver nichtparametrischer Tests.
Ein typisches Beispiel eines solchen Problems wird in [5] untersucht. Man betrachte eine unbekannte Funktion (Signal), die im additiven Rauschen beobachtet wird. Die einfache Hypothese ,,kein Signal`` wird gegen eine zusammengesetzte nichtparametrische Alternative getestet. Sowohl optimale Testmethoden als auch die optimale Testrate hängen von Glattheitseigenschaften des Signals ab. Eine adaptive, auf Wavelets basierende Testmethode wird konstruiert, welche die fast optimale Testrate liefert, ohne Informationen über unbekannte Eigenschaften des Signals zu benötigen. Dieses Problem wurde in [6] weiterentwickelt, wobei die Testmethode verallgemeinert und gleichzeitig vereinfacht wurde.
In der ökonometrischen Modellierung besteht ein spezielles Interesse an der Analyse von Komponenten. Dieses Problem wurde im Rahmen der Zusammenarbeit mit W. Härdle und S. Sperlich (SFB 373, Humboldt-Universität zu Berlin) untersucht. Übliche ökonometrische Modelle sind multivariat, und die Anzahl der Beobachtungen reicht oftmals nicht aus, um eine rein nichtparametrische Schätzung mit entsprechender Genauigkeit zu erhalten. Um dieser Schwierigkeit zu begegnen, nimmt man eine spezielle Struktur des Modells an, z. B. eine ,,single-index`` oder additive Gestalt. Diese Annahmen sind aber häufig im globalen Sinne nicht adäquat. Andererseits kann man erwarten, daß das untersuchte Modell eine lokale Struktur besitzt, welche sich von Punkt zu Punkt verändert.
In [7] wurde, zunächst für den eindimensionalen Fall, eine Methode entwickelt, die bezüglich der unbekannten lokalen Struktur adaptiv ist. Es ist geplant, diese Methoden bei der Bildverarbeitung und der Analyse stochastischer Modelle einzusetzen.
Projektliteratur: