Bearbeiter: G. N. Milstein, H. Schurz
Kooperation: Karmeshu (Jawaharlal Nehru Universität, Neu Delhi, Indien), B. L. Ryashko (Ural-Staatsuniversität, Ekaterinburg, Rußland)
Beschreibung der Forschungsarbeit:
Stochastische (gewöhnliche) Differentialgleichungen (SDE) und die damit verbundenen stochastischen dynamischen Systeme spielen eine immer größere Rolle bei der Modellierung, Analyse und Simulation ingenieurtechnischer oder wirtschaftstheoretischer Probleme in der Praxis. In diesem Projekt steht deren qualitatives und statistisches Verhalten im Mittelpunkt. Es werden stochastisch-numerische Verfahren zur Lösung von SDE entwickelt, verbessert und implementiert.
Stochastische Verfahren zur Lösung von Randwertaufgaben für partielle Differentialgleichungen hängen eng mit der numerischen Integration von Systemen von SDE zusammen. Die bekannten Algorithmen zur numerischen Integration von SDE basieren auf Zeitdiskretisationen. Zur approximativen Lösung von Randwertproblemen in beschränkten Gebieten sind neue Methoden erforderlich, die auf räumlichen Diskretisierungen aufbauen und auf das Studium spezieller Markovscher Ketten führen. Frühere Untersuchungen konzentrierten sich auf Randwertaufgaben für parabolische Differentialgleichungen; analoge Probleme wurden auch für elliptische Randwertaufgaben betrachtet, bei deren Lösung neue Schwierigkeiten entstehen. In der Arbeit [1] werden Fragen der starken Approximation von Lösungen von SDE in beschränkten Gebieten behandelt. In der Arbeit [2] werden Methoden der schwachen Approximation entwickelt; die zugehörigen Algorithmen basieren auf der Konstruktion geeigneter Markovketten. Untersucht werden Fragen der Konvergenz, der Approximationsgüte und der numerischen Komplexität dieser Verfahren. Außerdem wird in [2] ein Problem für elliptische Differentialgleichungen mit kleinem Parameter bei den höheren Ableitungen betrachtet.
Der Stabilität von Gleichgewichtszuständen unter zufälligen Störungen sind zahlreiche Arbeiten gewidmet. Wichtige Ergebnisse auf diesem Gebiet hängen mit den Begriffen des Ljapunov-Exponenten (Khasminskii), des Ljapunov-Momentexponenten (Arnold) und des Stabilitätsindex (Arnold-Khasminskii) zusammen. Diese Konzepte können auf die Stabilitätsproblematik von invarianten Mannigfaltigkeiten übertragen werden, vgl. [3]. Einige numerische Verfahren zum Auffinden des Ljapunov-Exponenten und des Stabilitätsindex werden in [4] dargestellt.
In den Arbeiten [8], [9] wurde kürzlich eine bemerkenswerte Übereinstimmung zwischen dem asymptotischen Verhalten von stetigen stochastischen Systemen und diskreten Systemen gefunden. Dabei gelang es, zwei implizite Verfahren aus der Vielfalt von numerischen Methoden (s. z. B. [7]) zu finden, welche keinen asymptotischen Bias im Vergleich zur exakten Lösung bilinearer Systeme von SDE aufweisen, wenn die Integrationszeit gegen unendlich strebt. Dieses sind die implizite Trapezregel und die Mittelpunktsregel im autonomen Fall.
Dabei spielt die Wahl der Schrittweite keine Rolle; außerdem muß nur die Übereinstimmung gewisser Momente garantiert sein. Zum Beweis wurden die Theorie positiver Operatoren und Standard-Fixpunkttechniken herangezogen. Explizite Verfahren sind i. a. nicht zur adäquaten Widerspiegelung des asymptotischen Wahrscheinlichkeitsgesetzes stetiger Dynamiken durch diskrete Dynamiken geeignet (siehe einfachste Beispiele in [6] und [9]). Dieses Resultat sollte für alle diejenigen Nutzer unserer Techniken von großem Interesse sein, die Genauigkeit in der Langzeitintegration stochastischer Systeme benötigen, wie z. B. bei der Berechnung von Ljapunov-Exponenten (s. [9]), stationären Maßen, first exit times in der statistischen Physik und Mechanik, parametrischen Schätzern in der asymptotischen Statistik oder bei der Auswertung von Zinsstrukturkurven im stochastischen Finanzwesen (s. [9]).
Projektliteratur: