Spin-Gläser und Neurale Netze

Bearbeiter: A. Bovier, Ch. Külske 

Kooperation: V. Gayrard, P. Picco (CPT Marseille)

Beschreibung der Forschungsarbeit:

Eine ausführliche Darstellung der Fragestellungen, denen wir uns in diesem Projekt widmen, wurde im Jahresbericht 1994 gegeben. Dieses Jahr stand im Zeichen der Organisation eines Workshops und eines damit verbundenen Buchprojekts zu diesem Thema [1]. Dazu wurde in einem umfänglichen Übersichtsartikel [2] zum Hopfield-Modell unser Zugang zu diesem Modell detailliert dargestellt, wobei gleichzeitig unsere früheren Resultate auf eine wesentlich größere Klasse von Modellen verallgemeinert wurden. Daneben konnten eine Reihe wesentlicher neuer Resultate für das eigentliche Hopfield-Modell erzielt werden. Entscheidend war hier die Erkenntnis, wie die in [3] bewiesene lokale Konvexität der ,,Ratenfunktion`` in einem Bereich der Modellparameter und benutzt werden kann, um exakte Resultate über die Gibbs-Maße zu beweisen. Insbesondere kann damit die Wahrscheinlichkeitsverteilung der zufälligen Gibbs-Maße des Modells im thermodynamischen Limes exakt beschrieben werden. Im weiteren ergibt sich eine rigorose Rechtfertigung heuristischer physikalischer Aussagen zur freien Energie des Modells. Die Ergebnisse sind in Teilen in [2] dargestellt, eine detaillierte Arbeit ist in Vorbereitung [4]. Als Nebenresultat konnte außerdem ein zentraler Grenzwertsatz für die Verteilung der Ordnungsparameter für den Fall bewiesen werden [5], daß die Zahl der ,,pattern`` langsamer als linear mit der Systemgröße wächst.

Ein wesentlicher neuer Gesichtspunkt in der Untersuchung ungeordneter Systeme ergibt sich durch ein von Newman und Stein [6] vorgeschlagenes Konzept des ,,Metazustandes``, mit dem in präziser Weise das Konvergenzverhalten der Wahrscheinlichkeitsverteilung von Gibbs Zuständen ungeordneter Systeme im thermodynamischen Limes beschrieben wird. Külske [7] hat diesbezüglich während eines Forschungsaufenthaltes am WIAS solche Objekte in einer Reihe von Beispielen explizit konstruiert und damit nicht unwesentlich zum Verständnis dieser neuartigen Begrifflichkeit beigetragen. Eine weitere Analyse dieser Objekte im Rahmen der von uns untersuchten Modelle ist in Arbeit [8].

Das Projekt wurde durch die EU (CHRX-CT93-0411) und die DFG gefördert.

Projektliteratur:

1. A. BOVIER, P. PICCO (HRSGB.), Mathematics of spin glasses and neural networks, erscheint in: Progress in Probability, Birkhäuser, Boston, 1997.
2. A. BOVIER, V. GAYRARD, Hopfield models as generalized random mean-field models, WIAS-Preprint No. 253, Berlin 1996; erscheint in: Mathematics of spin glasses and neural networks, A. Bovier und P. Picco (Hrsgb.), Progress in Probability, Birkhäuser, Boston, 1997.
3. A. BOVIER, V. GAYRARD, The retrieval phase of the Hopfield model: A rigorous analysis of the overlap distribution, WIAS-Preprint No. 161, Berlin 1996; erscheint in: Probab. Theor. Rel. Fields, 107 (1996).
4. A. BOVIER, V. GAYRARD, in Vorbereitung.
5. A. BOVIER, V. GAYRARD, An almost sure central limit theorem for the Hopfield model, WIAS-Preprint No. 283, Berlin 1996; eingereicht in: Markov Proc. Rel. Fields (1996).
6. CH. M. NEWMAN, D. L. STEIN, Thermodynamic chaos and the structure of short-range spin glasses, erscheint in: Mathematics of spin glasses and neural networks, A. Bovier und P. Picco (Hrsgb.), Progress in Probability, Birkhäuser, Boston, 1997.
7. CH. KÜLSKE, Metastates in disordered mean field models: Random field and Hopfield models, WIAS-Preprint No. 260, Berlin 1996; erscheint in: J. Stat. Phys. (1997).
8. A. BOVIER, V. GAYRARD, CH. KÜLSKE, Convergence properties of Gibbs measures in a Hopfield type model, in Vorbereitung.