Bearbeiter: H. Gajewski, K. Zacharias
Beschreibung der Forschungsarbeit:
Für die Chemotaxis als orientierte Wanderung von Organismen unter dem Einfluß chemischer Substanzen ist von Keller und Segel ein mathematisches Modell vorgeschlagen worden, das im einfachsten Falle auf ein Reaktions-Diffusionssystem der folgenden Bauart führt:
Sei 
die Populationsdichte, 
die Dichte des
chemotaktischen Agens, dann gilt für 
(
die Zeit, 
der Ortsvektor)
in 
, wobei 
ein beschränktes,
stückweise glatt berandetes Gebiet der Ebene ist. Auf dem Rand
von
werden homogene Neumann-Bedingungen vorgeschrieben, für
seien Anfangswerte 
vorgegeben;
, 
, 
, 
sind positive
Konstanten. Mathematische Schwierigkeiten ergeben sich dadurch, daß
in dem System neben der i. a. stabilisierenden Diffusion eine Driftbewegung
entgegen einem Konzentrationsgradienten, d. h. eine Art negativer
(destabilisierender) Diffusion wirkt. In der Tat kann man Anfangswerte
konstruieren, für die das System ,,blow-up ``zeigt. Zeitlich globale
Lösungen für das Chemotaxissystem sind also nur unter speziellen
Bedingungen zu erwarten.
Das Schlüsselergebnis unserer Untersuchungen ist die Erkenntnis, daß das System (1) die Lyapunov-Funktion
besitzt. Diese Funktion fällt entlang Lösungen mit wachsender Zeit und bleibt nach unten beschränkt, sofern die Bedingung
erfüllt ist,
wobei 
der minimale Innenwinkel zwischen den 
bildenden glatten Randkurven ist. (Numerische Experimente deuten darauf
hin, daß die angegebene Schranke scharf ist.) In diesem Falle existieren
globale Lösungen, und ihr asymptotisches Verhalten kann wie folgt
charakterisiert werden:
Mit den
genügenden räumlichen Mittelwerten
bilde man
Dann existiert eine Folge 
und Funktionen
, so daß
und der asymptotische Zustand 
genügt mit
Offenbar hat die nichtlineare Gleichung (2) die triviale Lösung
. Man kann jedoch Anfangsbedingungen
angeben, für die der zugehörige asymptotische Zustand
nichttrivial ist.
Projektliteratur: