Bearbeiter: G. Schmidt
Kooperation: V. Maz'ya (Universität Linköping, Schweden), M. Sulimov (Universität St. Petersburg)
Beschreibung der Forschungsarbeit:
In den letzten Jahren wurden von V. Maz'ya numerische Algorithmen zur Lösung nichtlinearer partieller Differential- und Integrodifferentialgleichungen entwickelt, die auf der Anwendung von Integralgleichungsmethoden und speziellen Approximationsverfahren beruhen. Diese Verfahren nutzen Basisfunktionen, die die effektive Auswertung von verschiedenen Potentialoperatoren der mathematischen Physik ermöglichen, aber nicht Polynome reproduzieren können. Die Konvergenzanalyse der vorgeschlagenen numerischen Algorithmen erfordert die theoretische Untersuchung der genannten Approximationsverfahren. Da Polynome nicht reproduziert werden und die Anwendung bei numerischen Verfahren im Hintergrund steht, ist es günstig, einen modifizierten Approximationsbegriff einzuführen. Es wird verlangt, daß das Verfahren Funktionen mit einer gewissen Ordnung bei einer vorgegebenen Genauigkeit approximiert, aber im Grenzfall müssen die Approximierenden nicht gegen die Funktion konvergieren. Vom Standpunkt der Numerik aus sind diese Forderungen plausibel, da bei der numerischen Lösung von Anwendungsproblemen die gewünschten Größen immer innerhalb gewisser Toleranzen berechnet werden müssen. Andererseits wird durch diesen Zugang die Klasse der approximierenden Funktionen wesentlich erweitert, so daß es möglich ist, neue Algorithmen zu entwickeln, die auf der Anwendung von Integralgleichungsmethoden basieren. Im Falle nichtlinearer Evolutionsgleichungen wurden explizite Lösungsverfahren implementiert, die gegenüber bekannten Verfahren wesentlich genauer und robuster sind.
1995 wurde in Fortsetzung der im Vorjahr durchgeführten Arbeiten insbesondere die Kubatur von mehrdimensionalen Integraloperatoren mit singulären Kernfunktionen untersucht. In [1] wurden neue Klassen von Kubaturformeln für bekannte Potentiale der mathematischen Physik angegeben, die sich recht einfach implementieren lassen und beliebig hohe Konvergenzraten erreichen.
Um diese Ergebnisse auf den Fall glatter Funktionen in Gebieten im
zu übertragen, ist es notwendig, die Approximation auf
graduierten Gittern zu untersuchen. Für den Polyederfall ist es
gelungen, der Approximation angepaßte graduierte Gitter und
Kubaturformeln anzugeben, die bei vertretbarem Aufwand hinreichend
genaue Approximationen der Integraloperatoren liefern (eine Arbeit
hierzu ist in Vorbereitung).
Projektliteratur: