Existenz und Stabilität von Fronten und Pulsen in den FitzHugh-Nagumo-Gleichungen

Bearbeiter: B. Sandstede

Kooperation: M. Krupa (Wien), P. Szmolyan (Wien)

Beschreibung der Forschungsarbeit:

In diesem Projekt wurden Travelling-Wave-Lösungen in den FitzHugh-Nagumo-Gleichungen untersucht. Diese Gleichungen, bestehend aus singulär gestörten Reaktions-Diffusions-Gleichungen, dienen als Modell für die Ausbreitung von Signalen in Nervenreizleitungen. Deshalb interessiert man sich für die Existenz und Stabilität von Pulsen oder Fronten, d. h. asymptotisch konstanten travelling waves. Von besonderem Interesse sind N-Fronten und N-Pulse, die mehrere Bits an Informationen übertragen können.

Beispiele von Pulsen in diesen Gleichungen sind die schnellen Wellen, die stabil sind und scharfe transition layers beinhalten, sowie die langsamen Wellen, die instabil sind und sich bis in das singuläre System hinein fortsetzen lassen. In einer ersten Arbeit [3] wurde gezeigt, daß diese so verschieden aussehenden Lösungen aber tatsächlich im Parameterraum miteinander verbunden sind. Es gibt also Pfade im Parameterraum, so daß diese Lösungen ineinander übergehen. Daß damit ein nicht entarteter Austausch von Stabilität verbunden ist, wurde in [6] bewiesen. Die enscheidende Technik in beiden Arbeiten sind Shilnikov-Variablen und die Bereitstellung von asymptotischen Entwicklungen in [3], die geometrische Methoden wie das Exchange Lemma von Jones und Kopell nicht liefern. Darüber hinaus wurde in [3] die Existenz von N-Pulsen bewiesen. Diese entstehen in einer inclination-flip-Verzweigung, sind aber sämtlich instabil und deshalb irrelevant. Unter Benutzung des Codes HOMCONT, siehe [1] und [2], wurde diese Verzweigung numerisch im gesamten Parameterraum untersucht.

In einem anderen Parameterregime wurde von Deng die Existenz von N-Fronten bewiesen. In [7] wurde gezeigt, daß diese Lösungen stabil unter Störungen sind. Dabei wurden die Techniken aus [5] konkret auf ein spezielles Verzweigungsszenario angewendet. Entscheidend bei der Behandlung war die Reduktion auf zweidimensionale invariante Mannigfaltigkeiten, wie sie in [4] bewiesen wurde.

Projektliteratur:

1. A. R. CHAMPNEYS, YU. A. KUZNETSOV, B. SANDSTEDE, A Numerical Toolbox for Homoclinic Bifurcation Analysis, erscheint in International Journal of Bifurcation and Chaos.
2. A. R. CHAMPNEYS, YU. A. KUZNETSOV, B. SANDSTEDE, HOMCONT: An AUTO86 driver for homoclinic bifurcation analysis. Version 2.0, Technischer Report AM-R9516, CWI Amsterdam, 1995.
3. M. KRUPA, B. SANDSTEDE, P. SZMOLYAN, Fast and slow waves in the FitzHugh-Nagumo equation, Forschungsbericht Nr. 1, Technische Universität Wien und WIAS-Preprint No. 182, Berlin 1995.
4. B. SANDSTEDE, Center manifolds for homoclinic solutions, WIAS-Preprint No. 186, Berlin 1995.
5. B. SANDSTEDE, Stability of multiple-pulse solutions, erscheint in Transactions of the American Mathematical Society.
6. B. SANDSTEDE, Exchange of stability of the fast and slow waves in the FitzHugh-Nagumo equation, in Vorbereitung.
7. B. SANDSTEDE, Stability of N-fronts bifurcating from a twisted heteroclinic loop and an application to the FitzHugh-Nagumo equation, WIAS-Preprint No. 213, Berlin 1996.