Bearbeiter: J. Schmeling
Kooperation: S. Troubetzkoy (SUNY, Stony Brook, USA), Y. Pesin (Pennstate Univ., USA)
Beschreibung der Forschungsarbeit:
In der differenzierbaren Dynamik ist die Theorie invertierbarer Systeme
(Diffeomorphismen, Flüsse) weitgehend entwickelt. Insbesondere wird das
Augenmerk auf die Existenz physikalisch motivierter invarianter Maße
(Sinai-Ruelle-Bowen-Maße) gerichtet, d. h. Maße, die physikalisch oder
numerisch erkennbar sind. Damit meint man im speziellen Maße, die die
Evolution von fast allen (bezügl. des Lebesgue-Maßes) Punkten
des Einzugsbereiches beschreiben. Mit Hilfe eines solchen Maßes können dann Beziehungen zwischen Entropie (eine Größe, die die ,,
Chaotizität`` mißt), Lyapunov-Exponenten (Größen, die die
Sensibilität bezügl. der Anfangsbedingungen angeben) und
Hausdorff-Dimension erstellt werden. Eine der wichtigsten Formeln
für Diffeomorphismen auf Flächen ist die Young-Pesin-Formel für
das SRB-Maß :
wobei die Lyapunov-Exponenten von
sind.
Im Gegensatz zu den invertierbaren Systemen steht die Theorie der
nichtinvertierbaren Systeme - wenn man von eindimensionalen reellen
oder komplexen Systemen absieht - noch in den Anfängen.
In dem hier vorgestellten Projekt wird versucht, diese Theorie zu
entwickeln. Dazu betrachten wir die folgende Abbildung des Quadrates
in sich:
mit , die der russische Radiophysiker
Belykh als ein Modell in der Phasensynchronisation eingeführt hat.
Diese Abbildung ist für nicht mehr invertierbar.
Es ist uns gelungen, folgende Aussagen zu beweisen: