Probleme aus der Theorie der dynamischen Zeta-Funktionen

Bearbeiter: A. Juhl

Kooperation: U. Bunke, M. Olbrich (Humboldt-Universität zu Berlin, SFB 288), A. Deitmar (Universität Heidelberg), D. Mayer (Universität Clausthal-Zellerfeld), S. Patterson (Universität Göttingen)

Beschreibung der Forschungsarbeit:

Gegenstand dieses Projektes ist die Dynamik des geodätischen Flusses von Riemannschen Mannigfaltigkeiten negativer Krümmung. Das Verständnis der geodätischen Flüsse solcher Metriken hat Modellcharakter für das Verständnis hyperbolischer hamiltonscher Dynamik. Die betrachteten Systeme sind (im Sinne von Gutzwiller) stark chaotisch. Für das tiefere Verständnis der Dynamik des geodätischen Flusses spielen die zugeordneten Zeta-Funktionen eine zentrale Rolle. Diese Funktionen sind meromorphe Funktionen einer komplexen Variablen. Die Charakterisierung der Nullstellen und Polstellen dieser Zeta-Funktionen und ihrer Werte an ausgezeichneten Stellen ist eines der zentralen Themen ihrer Theorie. Es gibt nun zwei prinzipiell voneinander verschiedene Methoden zur Untersuchung dieser Funktionen: Harmonische Analysis und Hyperbolische Dynamik. Seit der Entdeckung des auf der hyperbolischen Dynamik basierenden Zuganges (vgl. 8) ist es eines der herausfordernden Probleme in diesem Gebiet, die Verbindungen zwischen den beiden Zugängen zu verstehen. Das Projekt ist der Entwicklung dieser Verbindungen gewidmet. Dies basiert auf vorangegangenen Untersuchungen zu einer kohomologischen Theorie der Zeta-Funktionen, wie sie seit einigen Jahren vom Bearbeiter (und S. Patterson) angeregt und durchgeführt wurden (vgl. [2] und [7]). 1994 gelang eine Charakterisierung der Singularitäten der Zeta-Funktionen nur unter Benutzung von Invarianten der unterliegenden Dynamik (kanonische Ströme). Diese Charakterisierungen der Singularitäten haben eine enge Verwandschaft mit den Ergebnissen, die mit den Methoden der hyperbolischen Dynamik abgeleitet werden. Auf der anderen Seite basiert die Theorie des Bearbeiters auf dem Verständnis der Verbindung der kanonischen Ströme mit automorphen Formen, und in diesem Sinn bauen diese Ergebnisse eine Brücke zwischen den beiden Zugängen. Im Jahr 1995 gelang es nun, die vorher entwickelte Theorie der kanonischen Ströme mit vorangegangenen andersartigen Charakterisierungen der Divisoren (durch algebraische Darstellungstheorie und durch Gamma-Kohomologie, vgl. 2, 6 und 7) zu verbinden. Dies basierte auf der Entwicklung einer neuen Hodge-Theorie für die stabile Blätterung, die es insbesondere erlaubt, die bisher vorliegenden Ergebnisse als eine neue Form einer Hodge-Theorie zu verstehen. Diese Ergebnisse erlauben nun für Räume konstanter negativer Krümmung und unendlichen Volumens die Aufstellung eines natürlichen Systems von Vermutungen, die die Singularitäten der entsprechenden Zeta-Funktionen mit verschiedenen Hodge-Theorien verbinden. Sie stehen in enger Verbindung mit Vermutungen von Patterson (vgl. [7]) und Arbeiten von Melrose, Mazzeo, Phillips u.a. zur Hodge-Theorie und Connes u.a. zur Indextheorie der Blätterungen. Diese Theorie wird in der Monographie [3] entwickelt.

Projektliteratur:

1. D. FRIED, The zeta functions of Ruelle and Selberg I, Ann. Scient. Ec. Norm. Sup. 19 (1986), 491-517.
2. A. JUHL, Zeta-Funktionen, Index-Theorie und hyperbolische Dynamik, Habilitationsschrift Humboldt-Universität 1993.
3. A. JUHL, An introduction to the cohomological theory of dynamical zeta functions, Monographie (in Vorbereitung).
4. A. JUHL, The cohomological theory of dynamical zeta functions. A review, (WIAS-Preprint, in Vorbereitung).
5. U. BUNKE, M. OLBRICH, Selberg Zeta and Theta functions. A differential operator approach, Akademie-Verlag 1995.
6. U. BUNKE, M. OLBRICH, Gamma-cohomology and the Selberg zeta function (erscheint in Crelles Journal).
7. S. PATTERSON, Two conjectures on Kleinian groups, Vortrag in Warwick 1993.
8. D. RUELLE, Zeta functions for expanding maps and Anosov flows, Invent. Math 34 (1976), 231-242.