Nicht invertierbare Hufeisenabbildungen

Bearbeiter: H. G. Bothe

Beschreibung der Forschungsarbeit:

Für konkrete dynamische Systeme gelingt der Nachweis chaotischen Verhaltens zuweilen dadurch, daß man einen Teil des Phasenraumes durch eine Hufeisenabbildung (siehe [4]) beschreibt und damit eine enge Beziehung zu einer Shift-Dynamik herstellt (siehe z. B. [3], Kap. III). Die Frage, inwieweit der Zusammenhang zwischen Hufeisenabbildungen und Shift-Abbildungen in der symbolischen Dynamik erhalten bleibt, wenn man bei den ersteren auf Eindeutigkeit verzichtet, ist der Gegenstand dieses Projektes. Dabei ergibt sich, daß für fast alle nicht eineindeutigen Hufeisenabbildungen f der maximale invariante Teilraum zu einem vollen Shiftraum konjugiert ist, falls nur die Kontraktion von f in der stabilen Richtung genügend stark ist. Das gilt auch bei höherdimensionalen Analoga zu den üblichen zweidimensionalen Hufeisenräumen (siehe [2]). Zugleich wird der maximale Attraktor von f beschrieben. Eine in [1] entwickelte Methode kann herangezogen werden, um zu zeigen, daß einige der Ergebnisse, was die zu fordernde Stärke der Kontraktion betrifft, optimal sind.

Projektliteratur:

1. H. G. BOTHE, Attraktor of non invertible maps, IAAS-Preprint No. 77, 1993.
2. H. G. BOTHE, Shift spaces and attractor in non invertible horse shoes, WIAS-Preprint (erscheint Feb. 1996).
3. J. MOSER, Stable and random motions in dynamical systems, Ann. Math. Studies 77 (1973).
4. S. SMALE, Diffeomorphisms with many periodic points, in S. S. Cairns (editor), Differential and Combinatorial Topology, pp. 63--80, Princeton (1963).