next up previous contents
Next: Wissenschaftlich-technische Dienste Up: Previous: Nicht vollst�ndig invertierbare

Dynamik von Verzweigungsprozessen

Bearbeiter: R. Siegmund-Schultze, J. Schmeling

Kooperation: K. Matthes (Universit�t Potsdam)

Beschreibung der Forschungsarbeit:

Die Untersuchungen zu Gleichgewichten und Genealogie von Verzweigungsprozessen verfolgen das Ziel, allgemeine Aussagen zu Existenz und Struktur von Gleichgewichten f�r Verzweigungsprozesse im Raum abzuleiten, wobei von der Kl�rung der zugeh�rigen Familienstruktur (Genealogie) ausgegangen wird. Bisher sind Aussagen dazu fast ausschlie�lich unter der Voraussetzung der Existenz von Momenten abgeleitet worden. Das Interesse an solchen Untersuchungen resultiert wesentlich aus der Rolle, die (zeitstetige) kritische Verzweigungsprozesse (als noch gut analytisch handhabbare Verallgemeinerung des Wienerprozesses) in der modernen stochastischen Analysis spielen (Superprozesse im Sinne von Dynkin und Dawson). Ebenso sind r�umliche Verzweigungsprozesse weiterhin ein wichtiges Modell in der Theorie unendlicher Teilchensysteme. Der Verzicht auf Momentenannahmen f�hrt dazu, da� sich die Familienstruktur nicht mehr durch einen stochastischen Proze�, sondern durch ein Ma� mit unendlicher Gesamtmasse auf dem Trajektorienraum beschreiben l��t, das bez�glich des Zeitshifts nur noch faktor-invariant ist. Ein entsprechender Ansatz wurde auf der Tagung �ber Verzweigungsprozesse (Oberwolfach, Dezember 1995) vorgestellt. Eine weitere Publikation, die die Serie der zu dieser Thematik in Zusammenarbeit mit K. Matthes und A. Wakolbinger (Frankfurt/Main) erstellten Arbeiten fortsetzen soll, wird angestrebt. Dabei w�re die Kl�rung der allgemeinen Existenz- und Strukturaussage ein wirklicher Durchbruch, der bestehenden Einzelaussagen ([3] im subkritischen Fall, [1] im kritischen Fall) einen allgemeinen Rahmen geben und zu einem wirklichen inhaltlichen Verst�ndnis f�hren w�rde.

Im Zusammenhang mit der Untersuchung des Dimensionsspektrums zuf�lliger Fraktale, die durch Verzweigungsprozesse in Matrixr�umen erzeugt werden, wird (in Fortsetzung von [2]) die Arbeit an einem seit l�ngerer Zeit in Vorbereitung befindlichen Artikel weitergef�hrt und soll 1996 abgeschlossen werden. Die Oberwolfach-Tagung belegte, da� diese Problematik inzwischen auch in der Verzweigungstheorie zu einem Forschungsgegenstand geworden ist.

Projektliteratur:

  1. M. BRAMSON, J. T. COX AND A. GREVEN, Ergodicity of critical spatial branching processes in low dimensions, Ann. Prob. 21 (1993), No. 4, 1946--1957.
  2. J. SCHMELING AND RA. SIEGMUND-SCHULTZE, The singularity spectrum of self-affine fractals with Bernoulli measure, IAAS-Preprint No. 14, 1992.
  3. RA. SIEGMUND-SCHULTZE, A subcritical spatially homogeneous branching process may have an equilibrium, Math. Nachr. 151 (1991), 101--120.



next up previous contents
Next: Wissenschaftlich-technische Dienste Up: Previous: Nicht vollst�ndig invertierbare



Group_of_Office
Mon May 13 20:25:53 MET DST 1996