Bearbeiter: R. Siegmund-Schultze, J. Schmeling
Kooperation: K. Matthes (Universität Potsdam)
Beschreibung der Forschungsarbeit:
Die Untersuchungen zu Gleichgewichten und Genealogie von Verzweigungsprozessen verfolgen das Ziel, allgemeine Aussagen zu Existenz und Struktur von Gleichgewichten für Verzweigungsprozesse im Raum abzuleiten, wobei von der Klärung der zugehörigen Familienstruktur (Genealogie) ausgegangen wird. Bisher sind Aussagen dazu fast ausschließlich unter der Voraussetzung der Existenz von Momenten abgeleitet worden. Das Interesse an solchen Untersuchungen resultiert wesentlich aus der Rolle, die (zeitstetige) kritische Verzweigungsprozesse (als noch gut analytisch handhabbare Verallgemeinerung des Wienerprozesses) in der modernen stochastischen Analysis spielen (Superprozesse im Sinne von Dynkin und Dawson). Ebenso sind räumliche Verzweigungsprozesse weiterhin ein wichtiges Modell in der Theorie unendlicher Teilchensysteme. Der Verzicht auf Momentenannahmen führt dazu, daß sich die Familienstruktur nicht mehr durch einen stochastischen Prozeß, sondern durch ein Maß mit unendlicher Gesamtmasse auf dem Trajektorienraum beschreiben läßt, das bezüglich des Zeitshifts nur noch faktor-invariant ist. Ein entsprechender Ansatz wurde auf der Tagung über Verzweigungsprozesse (Oberwolfach, Dezember 1995) vorgestellt. Eine weitere Publikation, die die Serie der zu dieser Thematik in Zusammenarbeit mit K. Matthes und A. Wakolbinger (Frankfurt/Main) erstellten Arbeiten fortsetzen soll, wird angestrebt. Dabei wäre die Klärung der allgemeinen Existenz- und Strukturaussage ein wirklicher Durchbruch, der bestehenden Einzelaussagen ([3] im subkritischen Fall, [1] im kritischen Fall) einen allgemeinen Rahmen geben und zu einem wirklichen inhaltlichen Verständnis führen würde.
Im Zusammenhang mit der Untersuchung des Dimensionsspektrums zufälliger Fraktale, die durch Verzweigungsprozesse in Matrixräumen erzeugt werden, wird (in Fortsetzung von [2]) die Arbeit an einem seit längerer Zeit in Vorbereitung befindlichen Artikel weitergeführt und soll 1996 abgeschlossen werden. Die Oberwolfach-Tagung belegte, daß diese Problematik inzwischen auch in der Verzweigungstheorie zu einem Forschungsgegenstand geworden ist.
Projektliteratur: