Bearbeiter: M. Neumann
Beschreibung der Forschungsarbeit:
Eine wichtige Klasse von statistischen Problemen ist dadurch gekennzeichnet, daß man nur indirekte Informationen über das zu schätzende Objekt zur Verfügung hat. Häufig sind solche Probleme schlecht gestellt, was geeignete Regularisierungsverfahren erfordert. Beispiele für schlecht gestellte statistische inverse Probleme sind Dekonvolution, Regression mit Fehlern in den Variablen, Probleme aus der Bildverarbeitung sowie Dichteschätzung in der Computertomographie.
Im Berichtszeitraum wurden Methoden zur Lösung spezieller Problemstellungen aus diesem Bereich entwickelt. Auch im Rahmen der statistischen inversen Probleme kommt es häufig vor, daß die zu rekonstruierende Funktion Sprünge aufweist, z. B. in der Bildverarbeitung oder Computertomographie. Bei einigen Problemstellungen (z. B. der Schätzung von Grenzbereichen) ist man direkt an der Lage solcher Unstetigkeiten interessiert; häufig ist die Inferenz darüber ein erster Schritt bei der Schätzung einer Funktion selbst. Im einfachsten, für die obige Problemklasse jedoch repräsentativen Modell wurde ein Verfahren zur Schätzung solcher Sprungstellen entwickelt und seine asymptotische Optimalität gezeigt.
In der Literatur zu Dekonvolutionsproblemen wird fast ausschließlich vorausgesetzt, daß die Fehlerdichte exakt bekannt ist. Dies ist in praktischen Anwendungen oft unrealistisch. Man kann jedoch auf ein realistisches und gleichzeitig konsistentes Verfahren hoffen, wenn man diese Fehlerdichte aus zusätzlichen Informationen schätzen kann. Der Verlust für die Schätzung der interessierenden Dichte selbst, welchen man durch die unexakte Kenntnis der Fehlerdichte zwangsläufig erleidet, wurde in einer weiteren Arbeit untersucht. Es wurde ein entsprechend modifiziertes Regularisierungsverfahren vorgeschlagen sowie dessen Optimalität gezeigt.
Projektliteratur: