Asymptotische Theorie statistischer Experimente

Bearbeiter: M. Nussbaum

Kooperation: I. Grama (Kishinev, Moldawien), A. Gushchin (Moskau), P. Hall (Canberra), A. Korostelev (Detroit), M. Low (Philadelphia), S. van de Geer (Leiden)

Förderung: DAAD, DFG, HCM-Netzwerk ,,Statistics of Stochastic Processes''

Beschreibung der Forschungsarbeit:

Die grundlegende Aufgabe in diesem Gebiet ist die Approximation allgemeiner statistischer Modelle durch einfachere; es entsteht dabei eine Theorie, die sich abstrakter Konzepte bedient und die (in der Tragweite für die Statistik) etwa der Funktionalanalysis vergleichbar ist. Der Schwerpunkt der Untersuchungen liegt bei den nichtparametrischen, d. h. unendlichdimensionalen Problemen; eingeschlossen sind stochastische inverse Probleme der Tomographie und Bildverarbeitung, Zusammenhänge zur entsprechenden deterministischen Theorie sowie die Statistik stochastischer Differentialgleichungen. Ein zentrales Thema in diesem Zusammenhang war die asymptotische Äquivalenz nichtparametrischer Experimente zu Gaußschen Folgen, im Sinne des Le Cam'schen Defizienzabstandes. Die Arbeiten zur globalen Approximation für Modelle aus unabhängigen, identisch verteilten Zufallsvariablen konnten abgeschlossen werden (s. [7]), im grundlegenden Fall glatter, nach unten beschränkter Dichten auf dem Einheitsintervall. Daran anschließend wurden nichtgaußsche Regressionsmodelle untersucht [2]; der Nachweis der asymptotischen Äquivalenz zu Gaußschen Experimenten gelang durch Einsatz einer entsprechenden funktionalen KMT-Ungleichung für den Partialsummenprozeß nicht identisch verteilter Zufallsvariabler [1]. In Analogie zu Gaußschen Approximationen sind auch Poissonsche begleitende Folgen nichtparametrischer Experimente von Interesse; hier konnte ein entsprechendes Resultat von Le Cam für Produktexperimente wesentlich erweitert werden (für Glattheitsgrade der Dichte unter , s. [4]). Vorbereitende Arbeiten für die Behandlung allgemeinerer Semimartingal-Modelle wurden im parametrischen Rahmen der Verzweigungsprozesse durchgeführt, vgl. [3]. Das Studium nichtparametrischer Experimente ist motiviert durch Glättungsaufgaben bei stochastischen inversen und schlecht gestellten Problemen. Die Untersuchungen über optimale Konvergenzgeschwindigkeiten für Schätzungen von Konturen der Trägergebiete von Wahrscheinlichkeitsdichten [5] stellten gleichzeitig eine Verbindung zu den Fragen nach Grenzexperimenten in der Extremwerttheorie her. Eine Anwendung der asymptotischen Äquivalenztheorie auf das Problem der exakten Risikoasymptotik bei der Dichteschätzung wurde in [6] gegeben.

Projektliteratur:

1. I. GRAMA, M. NUSSBAUM, A functional KMT approximation for partial sums of independent variables, in Vorbereitung.
2. I. GRAMA, M. NUSSBAUM, Asymptotic equivalence of regression experiments, in Vorbereitung.
3. A. GUSHCHIN, On efficiency bounds for estimating the offspring mean in a branching process, WIAS-Preprint No. 175 , Berlin, 1995.
4. M. LOW, M. NUSSBAUM, S. VAN DE GEER, Poissonization of product experiments, in Vorbereitung.
5. P. HALL, M. NUSSBAUM, S. STERN, On the estimation of a support curve of indeterminate sharpness, Technical report, Australian National University, Canberra, 1995.
6. A. KOROSTELEV, M. NUSSBAUM, Density estimation in the uniform norm and white noise approximation, WIAS-Preprint No. 154, Berlin, 1995.
7. M. NUSSBAUM, Asymptotic equivalence of density estimation and Gaussian white noise, WIAS-Preprint No. 174, Berlin, 1995, erscheint in: Ann. Statist., 1996.