Bearbeiter: N. Hofmann, P. Mathé
Beschreibung der Forschungsarbeit:
Bei der computergestützten Simulation stochastischer Differentialgleichungen werden die erforderlichen zufälligen Parameter ersetzt durch (auf dem Computer erzeugte) Pseudozufallszahlen. Die Probleme, die durch diese Ersetzung entstehen, sind für die Monte-Carlo-Integration gut untersucht, siehe [3]. Es stellt sich dabei heraus, daß für geeignete Klassen von Input durch geschickte Wahl von (quasizufälligen) Integrationsknoten (Folgen geringer Diskrepanz) die Fehlerabschätzungen gegenüber der in der Monte-Carlo-Theorie üblichen Varianzabschätzung verbessert werden können, siehe [4].
Im Projekt ist untersucht worden, ob sich derartige Ergebnisse auch bei der Simulation stochastischer Differentialgleichungen wiederfinden. Einfache numerische Experimente mit einigen der bekannten Folgen geringer Diskrepanz belegten, daß dies nicht der Fall zu sein braucht. Darüber hinaus konnte sogar gezeigt werden, daß dies nicht sein kann: Für Folgen reeller Zahlen ist es nicht möglich, gleichzeitig geringe Diskrepanz zu haben und für numerische Simulation von stochastischen Differentialgleichungen geeignet zu sein. Dieser unerwartete theoretische Sachverhalt bietet Stoff für weitergehende Untersuchungen.
Erwähnenswert ist in diesem Zusammenhang, daß vollständig gleichverteilte Folgen, siehe [2], die in anderem Zusammenhang untersucht wurden, gut zur Simulation geeignet sind. Auch Pseudo-Zufallszahlen, die standardmäßig auf den Rechnern verfügbar sind, erwiesen sich als zuverlässig. Eine theoretische Basis hierfür steht allerdings aus.
Die erzielten Ergebnisse sind präsentiert worden sowohl auf der ICIAM '95 als auch im Rahmen eines Plenarvortrages auf dem SIAM-AMS-Meeting '95 in Park City (Utah). Eine Darstellung findet sich im WIAS-Preprint [1].
Projektliteratur: