Rekonstruktion stochastischer Prozesse

Bearbeiter: P. Mathé

Kooperation: T. Müller-Gronbach, FU Berlin

Beschreibung der Forschungsarbeit:

Fragen der optimalen Rekonstruktion stochastischer Prozesse aus einer endlichen Anzahl von Beobachtungen derselben sind seit den grundlegenden Arbeiten von Sacks/Ylvisaker, 1966 ff, vgl. [3,4], vielfach studiert worden.

In (nahezu) allen Publikationen spielen Hilbertraum-Techniken (RKHS) eine zentrale Rolle. In der Arbeit [2] sind die wesentlichen Ergebnisse, die mit derartigen Techniken erreichbar sind, dokumentiert. In diesem Projekt sollte ein eher approximationstheoretischer Zugang Anwendung finden. Dies war in der Tat möglich; die vorliegenden Ergebnisse gestatten allerdings nicht, Resultate für größere als die bisher untersuchten Klassen von Prozessen zu finden. Aus der jetzigen Sicht wird jedoch deutlich, daß dies nicht zufällig so ist: Die große Klasse der Prozesse mit Kovarianzstruktur vom Produkttyp erweist sich (im Gaußschen Fall) gerade als Klasse der Prozesse mit Markoveigenschaft. Somit erscheint eine natürliche Grenze für traditionelle Ansätze sichtbar. Die Tatsache, daß in allen bekannten Fällen die Rekonstruktion in einem Zeitpunkt allein durch die benachbarten Designpunkte bestimmt wird, findet hier eine einfache Erklärung.

Die Ergebnisse der Untersuchungen sind auf dem SIAM-AMS-Meeting '95 in Park City (Utah) vorgetragen worden und werden in den Proceedings veröffentlicht.

Projektliteratur:

1. P. MATHÉ, Optimal reconstruction of stochastic evolutions, Proc. SIAM-AMS Meeting, Park City, Lectures Applied Math, 1995.
2. T. MÜLLER-GRONBACH, Optimal design for approximating a stochastic process with respect to a minimax criterion, Preprint FB Math. FU Berlin, 1993.
3. J. SACKS AND D. YLVISAKER, Designs for regression problems with correlated errors, Ann. Math. Stat. (37), 66--89, 1966.
4. J. SACKS AND D. YLVISAKER, Designs for regression problems with correlated errors; Many parameters, Ann. Math. Stat., (39) 48--69, 1968.