Bearbeiter: H. Babovsky, G. N. Milstein
Beschreibung der Forschungsarbeit:
Asymptotische Gleichungen als Modelle kinetischer Gleichungen spielen aufgrund ihrer reduzierten Komplexität in der Praxis eine wichtige Rolle. Ihre Herleitung sowie die numerische Kopplung an die kinetischen Ausgangsgleichungen sind Fragen von großer Aktualität.
Diffusions- bzw. strömungsdynamische Gleichungen als Modelle kinetischer Gleichungen erlauben eine wesentlich einfachere analytische und numerische Behandlung physikalischer Phänomene als die viel komplexere kinetische Beschreibung. Diskutiert werden ihre Herleitungen beispielsweise zur Modellierung des dünnen Luftpolsters zwischen Magnetkopfgleiter und Speicherplatte eines modernen Speichermediums. In [1] wurde eine Variante von Donskers Invarianzprinzip und damit eine Diffusionsgleichung für ein Testteilchen in einer dünnen Streuschicht zwischen zwei diffus reflektierenden Platten hergeleitet. Wesentlich waren hierbei stochastische Einflüsse, insbesondere die Diffusions-Randbedingungen an den Platten. Offen blieb hierbei zum einen, wie Rauhigkeiten der Plattenoberflächen in die Modellierung einbezogen werden können und zum anderen, ob ähnliches Verhalten auch bei völlig deterministischer (möglicherweise sogar reversibler) Dynamik möglich ist. In [2] wurde das Verhalten eines Testteilchens studiert, welches an den Platten gemäß einem periodischen deterministischen Reflexionsgesetz (ähnlich dem der elastischen Reflexion an einer periodischen rauhen Oberfläche) gestreut wird. Durch Anwendung klassischer Resultate über Automorphismen auf dem Torus konnte für Modelle mit kontinuierlichem Geschwindigkeitsbereich ein Diffusionslimes hergeleitet werden. Diskrete Geschwindigkeitsmodelle zeigen dagegen ein hiervon grundlegend abweichendes Verhalten.
Makroskopische Gleichungen können aus kinetischen Gleichungen durch Einführung einer Singularität in der Dichte des Streumediums hergeleitet werden. Im Zusammenhang mit der numerischen Kopplung von makroskopischen mit mesoskopischen Gleichungen ist es nun wichtig, das Verhalten von Lösungen kinetischer Gleichungen in der Nähe von räumlichen Singularitäten der Dichte zu studieren. Da numerische Verfahren für kinetische Gleichungen in der Regel auf stochastischen Teilchensystemen beruhen, ist es naheliegend, das Verhalten stochastischer Transportprozesse in der Nähe von Singularitäten zu untersuchen. In [3] konnte eine vollständige Charakterisierung wichtiger Größen der stochastischen Dynamik in Abhängigkeit von der Art der Singularität an den Rändern eines Intervalls gegeben werden. Diese erlaubt eine Klassifikation der zugehörigen Cauchy-Probleme in Anfangs- und Anfangs-Randwertprobleme und beantwortet damit erste Fragen bezüglich der Möglichkeit einer Kopplung von Bereichen, welche durch eine Singularität getrennt sind.
Projektliteratur: