Bearbeiter: M. Nussbaum, V. Spokoiny
Beschreibung der Forschungsarbeit:
Grundlegende Aufgabenstellung ist die Approximation allgemeiner und
komplizierter
statistischer Modelle durch einfachere; es entsteht dabei eine Theorie, die
sich abstrakter Konzepte bedient und die (in der Tragweite für die
Statistik) etwa der Funktionalanalysis vergleichbar ist. Der Schwerpunkt der
Untersuchungen liegt bei den nichtparametrischen, d. h.
unendlichdimendionalen Problemen; eingeschlossen sind stochastische
inverse Probleme der Tomografie und Bildverarbeitung, Zusammenhänge zur
entsprechenden deterministischen Theorie sowie die Statistik stochastischer
Differentialgleichungen. Ein zentrales Thema in diesem Zusammenhang war die
asymptotische Äquivalenz nichtparametrischer Experimente zu Gaußschen
Folgen. Nachdem hier ein Durchbruch bei der Schätzung der
Wahrscheinlichkeitsdichte erzielt werden konnte (globale Gaußsche
Approximation für Modelle aus unabhängigen, identisch verteilten
Beobachtungen, s. [1]), gelang es nun, die Voraussetzungen auf ein kanonisches
Minimum zu reduzieren (Glattheit größer als ). Entscheidend
hierfür war die Auswertung neuester Ergebnisse aus der Theorie der
empirischen Prozesse, speziell zu funktionalen KMT-Ungleichungen. Die
Anwendungsmöglichkeiten der asymptotischen Äquivalenz in der
nichtparametrischen Schätztheorie werden u. a. in [2] und [3] diskutiert.
Im Anschluß an die früheren Resultate zur Diskretisierung von nichtparametrischen Diffusionsmodellen konnte gezeigt werden, daß für ein Modell eines Martingal--Zählprozesses die Histogramm--Diskretisierung ein statistisch äquivalentes Modell liefert. Weiterhin wurde die Grundlage geschaffen für eine Diffusionsapproximation für Zählprozesse, in Analogie zur white noise Approximation unabhängiger Beobachtungen. Diese asymptotische Äquivalenz zu einem Diffusionsexperiment wurde zunächst im parametrischen Fall gezeigt. Der nichtparametrische Fall beinhaltet wesentliche Schwierigkeiten, die mit der Ausdehnung von KMT-Approximationen auf Martingalmodelle zusammenhängen. Wahrscheinlichkeitstheoretische Vorarbeiten hierzu (große Abweichungen für Martingale) finden sich in [4].
Die Überarbeitung der Monografie [5] für die englische Fassung bildete
einen weiteren Schwerpunkt; hierin werden wesentliche Beiträge zur
Methodik der Grenzexperimente dargestellt, die die klassischen Ergebnisse
von Le Cam auf nichtgaußsche Limites erweitern und den konstruktiven
Aspekt entwickeln . Zentral hierbei ist der Begriff der -Konvergenz,
der ein geignetes Limeskonzept für nichtgaußsche Grenzexperimente
bereitstellt (s. [6]). Diese Ergebnisse wurden auch in Form einer
Habilitationsschrift an der Humboldt-Universität vorgelegt.
Projektliteratur: