Asymptotische Theorie statistischer Experimente

Bearbeiter: M. Nussbaum, V. Spokoiny

Beschreibung der Forschungsarbeit:

Grundlegende Aufgabenstellung ist die Approximation allgemeiner und komplizierter statistischer Modelle durch einfachere; es entsteht dabei eine Theorie, die sich abstrakter Konzepte bedient und die (in der Tragweite für die Statistik) etwa der Funktionalanalysis vergleichbar ist. Der Schwerpunkt der Untersuchungen liegt bei den nichtparametrischen, d. h. unendlichdimendionalen Problemen; eingeschlossen sind stochastische inverse Probleme der Tomografie und Bildverarbeitung, Zusammenhänge zur entsprechenden deterministischen Theorie sowie die Statistik stochastischer Differentialgleichungen. Ein zentrales Thema in diesem Zusammenhang war die asymptotische Äquivalenz nichtparametrischer Experimente zu Gaußschen Folgen. Nachdem hier ein Durchbruch bei der Schätzung der Wahrscheinlichkeitsdichte erzielt werden konnte (globale Gaußsche Approximation für Modelle aus unabhängigen, identisch verteilten Beobachtungen, s. [1]), gelang es nun, die Voraussetzungen auf ein kanonisches Minimum zu reduzieren (Glattheit größer als ). Entscheidend hierfür war die Auswertung neuester Ergebnisse aus der Theorie der empirischen Prozesse, speziell zu funktionalen KMT-Ungleichungen. Die Anwendungsmöglichkeiten der asymptotischen Äquivalenz in der nichtparametrischen Schätztheorie werden u. a. in [2] und [3] diskutiert.

Im Anschluß an die früheren Resultate zur Diskretisierung von nichtparametrischen Diffusionsmodellen konnte gezeigt werden, daß für ein Modell eines Martingal--Zählprozesses die Histogramm--Diskretisierung ein statistisch äquivalentes Modell liefert. Weiterhin wurde die Grundlage geschaffen für eine Diffusionsapproximation für Zählprozesse, in Analogie zur white noise Approximation unabhängiger Beobachtungen. Diese asymptotische Äquivalenz zu einem Diffusionsexperiment wurde zunächst im parametrischen Fall gezeigt. Der nichtparametrische Fall beinhaltet wesentliche Schwierigkeiten, die mit der Ausdehnung von KMT-Approximationen auf Martingalmodelle zusammenhängen. Wahrscheinlichkeitstheoretische Vorarbeiten hierzu (große Abweichungen für Martingale) finden sich in [4].

Die Überarbeitung der Monografie [5] für die englische Fassung bildete einen weiteren Schwerpunkt; hierin werden wesentliche Beiträge zur Methodik der Grenzexperimente dargestellt, die die klassischen Ergebnisse von Le Cam auf nichtgaußsche Limites erweitern und den konstruktiven Aspekt entwickeln . Zentral hierbei ist der Begriff der -Konvergenz, der ein geignetes Limeskonzept für nichtgaußsche Grenzexperimente bereitstellt (s. [6]). Diese Ergebnisse wurden auch in Form einer Habilitationsschrift an der Humboldt-Universität vorgelegt.

Projektliteratur:

1. M. Nussbaum: Asymptotic equivalence of density estimation and white noise. Erscheint in Ann. Statist.

2. M. Nussbaum: Discussion on: ,,Wavelet Smoothing--Asymptopia ¿` by D. Donoho, I. Johnstone, G. Kerkyacharian, D. Picard, (paper presented at the session of the Royal Stat. Soc., Chapel Hill, NC, June 1994), erscheint in J. Roy. Stat. Soc., Ser. B

3. A. Korostelev, M. Nussbaum: Density estimation in the uniform norm and white noise approximation. In Vorbereitung.

4. I. Grama: On moderate deviations for martingales. WIAS Preprint No. 121, Berlin (1994).

5. A. Shiryaev, V. Spokoiny: Statistical Experiments and Decisions. Asymptotic Theory. Verlag VINITI, Moskau, 1993, englische Fassung erscheint bei Springer Verlag, New York. (Eingereicht als Habilitationsschrift, Humboldt--Universität.)

6. A. Shiryaev, V. Spokoiny, On the concept of --convergence of statistical experiments. Erscheint in: A. Novikov, A. Shiryaev, editors, Statistics and Control for Stochastic Processes IV, Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 150, American Mathematical Society, Providence.