Dynamische stochastische Algorithmen

Bearbeiter: P. Mathé , A. Mader  

Kooperation: H. Babovsky  (Technische Universität Ilmenau), U. Voll (Universität München)

Beschreibung der Forschungsarbeit:

Die Untersuchungen zur Konvergenz schnellmischender Markovketten wurden fortgesetzt. Im Hinblick auf die Anwendung von Markovketten auf Gittern ist die Mischungsgeschwindigkeit von Ketten auf Produkträumen interessant. Die in [2] erhaltenen Ergebnisse auf Produktgruppen wurden in [3] auf den Fall diskreter Produkträume übertragen. Als wichtige Anwendung erscheint die Bestimmung der Konvergenz von Metropolisketten. Während in [3] noch vorausgesetzt wurde, daß die invariante Verteilung selbst Produktstruktur hat, ist es kürzlich gelungen, eine Klasse von Verteilungen zu beschreiben, für die die Mischung der dazugehörigen Metropoliskette sehr gut durch die Mischungsgeschwindigkeit der unterliegenden Kette abgeschätzt werden kann. Wichtiges Hilfsmittel sind die ,,Comparison Techniques`` aus [1]. Die erhaltenen Abschätzungen sollen Grundlage für die zukünftige Untersuchung des zeitlich inhomogenen Falls sein.

  

Die zur numerischen Lösung praxisrelevanter Fragestellungen der Gasdynamik nötigen Algorithmen für Evolutionsprobleme wurden z. B. in [4] und [8] mathematisch gerechtfertigt. Für stationäre Probleme wurden die systematischen Fehler der numerischen Experimente mit Hilfe der Monte Carlo Direct Simulation (MCDS) Methode in [5] untersucht. In der Simulation einfacher Modelle konnten die in Abb. 1 skizzierten Defekte beobachtet werden. Ziel ist es, diese Abweichungen zu modellieren. Die z. B. in [6] gemachten Aussagen konnten durch Simulationen nachvollzogen werden (vgl. [7]).

Projektliteratur:

1.  P. DIACONIS, L. SALOFF-COSTE, Comparison theorems for reversible Markov chains, Ann. Appl. Probab., 3 (1993), No. 3, pp. 696-730.
2.  P. MATH´E, Efficient mixing of product walks on product groups, WIAS-Preprint No. 284 (1996).
3.  , Relaxation of product Markov chains on product spaces, WIAS-Preprint No. 313 (1997).
4.  H. BABOVSKY, A convergence proof for Nanbu's Boltzmann simulation scheme, European J. Mech. B/Fluids, 8 (1989), pp. 41-55.
5.  , Time averages of simulation schemes as approximations to stationary kinetic equations, European J. Mech. B/Fluids, 11 (1992), pp. 199-212.
6.  , Diffusion limits for flows in thin layers, SIAM J. Appl. Math., 56 (1996), pp. 1280-1294.
7.  H. BABOVSKY, A. MADER, Macroscopic modelling of kinetic gas flows in thin layers, eingereicht bei: ZAMM.
8.  W. WAGNER, A convergence proof for Bird's direct simulation Monte Carlo method for the Boltzmann equation, J. Statist. Phys., 66 (1992), pp. 1011-1044.